◆問題
△ＡＢＣにおいて、ａ＝２，ｂ＝２√２，ｃ＝√５－１のとき、Ｂと外接円の半径Ｒを求めよ。
この問題では、正弦定理・余弦定理を使います。
「あれ？どうやるんだっけ？」という人は、まずはこちらをご覧ください。
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◆解答解説
ａ＝２，ｂ＝２√２，ｃ＝√５－１のとき、Ｂと外接円の半径Ｒ
３辺が与えられていて、まずはＢを聞いています。
３辺がわかっているときは、余弦定理ですね。ｃｏｓＢを使うので、
ｂ2＝ｃ2＋ａ2－２ｃａ・ｃｏｓＢ
さらにこれをｃｏｓＢについて解くと、
ｃｏｓＢ＝(ｃ2＋ａ2－ｂ2)／２ｃａ
この形になります。
最初からｃｏｓＢ＝・・・の式を覚えていればもちろんそれで良いですが、少しでも怪しいと感じたら、基本の式から変形することを考えましょう！
では代入して計算です。
ｃｏｓＢ＝{(√５－１)2＋２2－(２√２)2}／{２(√５－１)・２}
＝(５－２√５＋１＋４－８)／(４√５－４)
＝(２－２√５)／(４√５－４)
＝(２－２√５)／{(２－２√５)・(－２)}
＝－１／２
三角形の内角だから１８０°以下の角なので、コサインの値が－１／２になるときは、１２０°ですね。
まずはＢ＝１２０°がわかりました。
そして外接円の半径Ｒです。
外接円の半径Ｒについて考えるときは、正弦定理ですね。
ｂ／ｓｉｎＢ＝２ＲをＲについて解くと、Ｒ＝ｂ／２ｓｉｎＢ
ｂ＝２√２，Ｂ＝１２０°を代入すると、
Ｒ＝２√２／２ｓｉｎ１２０°
＝√２／(√３／２)
＝２√２／√３
＝２√６／３
◆関連項目
ｂ＝１５，ｃ＝１５√３，Ａ＝３０°の△ＡＢＣの残りの辺の長さと角の大きさ
三角比まとめ
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ラベル：数学
