◆ 問題
Ａさんは、駅から図書館まで２０分間歩いた。はじめの１０分間は平らな道で、その後の１０分間は上り坂だったという。Ａさんが駅を出発してからｘ分後の駅からの距離をｙｍとすると、１０≦ｘ≦２０においてｙ＝４０ｘ＋２８０の関係が成り立つとする。Ａさんの歩く速さは０≦ｘ≦１０でも一定だったとして、次の問いに答えよ。
(1) ０≦ｘ≦１０におけるＡさんの歩く速さを求めよ。
(2) Ａさんが出発した８分後に、Ｂさんは自転車に乗って駅から図書館に向かった。Ｂさんは分速１６０ｍの一定の速さで図書館まで進んだとするとき、ＢさんがＡさんに追いついた場所は図書館から何ｍの位置だったか求めよ。
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◆解答解説
要するに、２つの関数の交点を求める問題です。
交点は、２つの関数の式の連立方程式で求められますね。
Ａさんの式は問題文に与えられているので、Ｂさんの式を求められれば、あとは連立！という流れです。
Ｂさんの速さは分速１６０ｍとわかっているので、直線の傾きは１６０と考えられます。
そして、８分後に出発したから、グラフ上の(８，０)が出発点です。
つまり、ｙ＝ａｘ＋ｂに、ａ＝１６０，ｘ＝８，ｙ＝０を代入できる。というわけです。
代入して計算してみると、
０＝１６０×８＋ｂ
０＝１２８０＋ｂ
ｂ＝－１２８０
よって、Ｂさんの式は、ｙ＝１６０ｘ－１２８０
Ａさんの式ｙ＝４０ｘ＋２８０と連立して解いていきます。
両方ｙ＝●●の形だから、右辺同士をイコールで結んで、
１６０ｘ－１２８０＝４０ｘ＋２８０
１６０ｘ－４０ｘ＝２８０＋１２８０
１２０ｘ＝１５６０
ｘ＝１３
ｙ＝４０ｘ＋２８０にｘ＝１３を代入すると、
ｙ＝４０×１３＋２８０
＝５２０＋２８０
＝８００
ＢさんがＡさんに追いついたのは、駅から８００ｍの地点だとわかりました。
聞いているのは、図書館からの距離なので、図書館の位置を求めます。
Ａさんが図書館についたのは２０分後だから、ｙ＝４０ｘ＋２８０にｘ＝２０を代入すると、駅から図書館までの距離がわかります。
ｙ＝４０×２０＋２８０
＝８００＋２８０
＝１０８０
全体で１０８０ｍある道のりのうち、８００ｍ地点で追いついたので、求める図書館からの距離は、
１０８０－８００＝２８０ｍ
◆関連項目
１次関数(中学)まとめ
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