■ 問題
階差数列を利用して、次の数列の一般項ａnを求めよ。
１，２，６，１５，３１，・・・
解答解説はこのページ下
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１０秒でわかる！高校数学２Ｂ数列の考え方
■ 解答解説
「階差数列を利用して」と書いてあるし、そのままではパターンがわかりにくいので、それぞれの隣接する２項間の差を考えます。
１，２，６，１５，３１，・・・
ｖ ｖ ｖ ｖ
１ ４ ９ １６
つまり、階差数列ｂnは、１，４，９，１６，・・・
という数列です。
このような数字の並びになっているということは・・・
次は、２５。その次は３６，さらにその次は４９
ですね！
つまりこの階差数列の一般項は、ｂn＝ｎ2と推定できます。
階差数列を用いて一般項ａnを求めるときは、
n-1
ａn＝ａ1＋Σｂk
k=1
コレですね！
※階差数列の基本についてよくわからない人は、まずはこちらをご覧ください。
ａ1＝１，ｂn＝ｎ2を代入すると、
n-1
ａn＝１＋Σｋ2
k=1
あとはΣの公式を適用して計算します。
Σの上がｎ－１だから、公式のｎにｎ－１を代入することにも注意してください。
＝１＋(１／６)(ｎ－１)(ｎ－１＋１)(２ｎ－２＋１)
＝１＋(１／６)ｎ(ｎ－１)(２ｎ－１)
さらに展開して整理してみます。
＝１＋(１／６)ｎ(２ｎ2,－３ｎ＋１)
＝１＋(１／６)(２ｎ3－３ｎ2＋ｎ)
＝(２／６)ｎ3－(３／６)ｎ2＋(１／６)ｎ＋１
＝(１／３)ｎ3－(１／２)ｎ2＋(１／６)ｎ＋１
コレで完成ですね！
(１／６)でくくって因数分解して答える方が模範的かも知れませんが、解答の形式が指定されていなければ、この形でも特に問題ありません。
◆関連項目
１，３，６，１０，１５，……のとき
階差数列
数列まとめ
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ラベル：数学
