2024年06月29日

高校数学「等式の証明」(a+c)/(b+d)=(a+2c)/(b+2d)

高校数学「等式の証明」(a+c)/(b+d)=(a+2c)/(b+2d)

■ 問題

a/b=c/dのとき、次の等式を証明せよ。

(a+c)/(b+d)=(a+2c)/(b+2d)


解答解説はこのページ下


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■ 解答解説

等式の証明をするときは、左辺と右辺それぞれ計算してイコールになることを示したり、「左辺−右辺=0」を示したりします。
どの問題でも、この点は変わりませんが、今回の問題では「a/b=c/d」という条件が与えられています。
もちろんこの条件を使う必要があります。

「a/bとc/dが等しい」ので、この等しい式の値をkなどと置いてみます。
つまり、

a/b=c/d=k

ですね。
これら3つが等しいので、2つずつに分けてもOKです。
つまり、

a/b=k,c/d=k

それぞれ変形すれば、

a=kb,c=kd

このように書き換えることができます。こうすることで、文字の種類を減らして、与式より単純な式に直すことができます。
まずは左辺に代入してみましょう!

(左辺)=(kb+kd)/(b+d)
  =k(b+d)/(b+d)
  =k

このように非常にシンプルな式になってしまいました。
右辺も同様にやってみましょう!

(右辺)=(kb+2kd)/(b+2d)
  =k(b+2d)/(b+2d)
  =k

なんと!偶然にも右辺もkになってしまったではありませんか!(笑)

・・・ちょっとふざけてみましたが、等式の証明をしたい問題なので、当然等しくなります。
左辺を計算したらkになった。右辺を計算してもkになった。ということは、両辺は等しい。ですね!

(左辺)=(右辺)

よって、与式は成り立つ。


これで証明完成です!


◆関連項目
a+b+c=0のとき
等式の証明の基本的な方法
式と証明まとめ


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