高校数学「恒等式」(ｘ＋８)／{(ｘ−２)(ｘ＋３)}＝ａ／(ｘ−２)＋ｂ／(ｘ＋３)

高校数学「恒等式」(ｘ＋８)／{(ｘ−２)(ｘ＋３)}＝ａ／(ｘ−２)＋ｂ／(ｘ＋３)

■　問題

次の等式がｘについての恒等式になるように、ａ，ｂの値を定めよ。

(ｘ＋８)／{(ｘ−２)(ｘ＋３)}＝ａ／(ｘ−２)＋ｂ／(ｘ＋３)


解答解説はこのページ下


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■　解答解説

恒等式とは、ｘの値にかかわらず常に成り立つ式です。
イコールの左右がいつでも等しいので「恒等式」です。

だから、「恒等式になるように」するには、両辺の係数比較をして、イコールで結べばＯＫです。


今回の問題では、右辺を通分すると左辺と等しい分母になりそうですね。

(右辺)＝{ａ(ｘ＋３)＋ｂ(ｘ−２)}／{(ｘ−２)(ｘ＋３)}

このようにすると、両辺の分母が等しくなりました。
分母がすでに等しいので、あとは分子が等しくなれば恒等式です。
つまり、

ｘ＋８＝ａ(ｘ＋３)＋ｂ(ｘ−２)

です。
係数比較をするために、右辺をさらにｘについて整理します。

　ａ(ｘ＋３)＋ｂ(ｘ−２)
＝ａｘ＋３ａ＋ｂｘ−２ｂ
＝(ａ＋ｂ)ｘ＋３ａ−２ｂ

両辺の係数を比較すると、

ａ＋ｂ＝１，３ａ−２ｂ＝８

ですね。
あとはこれらの連立方程式を解くだけです。

　　２ａ＋２ｂ＝２
＋）３ａ−２ｂ＝８
―――――――――
　　５ａ　　　＝１０
　　　　　　ａ＝２

これをａ＋ｂ＝１に代入すると、

２＋ｂ＝１
　　ｂ＝−１

というわけで、求めるａ，ｂの値は、

ａ＝２，ｂ＝−１


◆関連項目
ａ＋ｂ＋ｃ＝０のとき
等式の証明の基本的な方法
式と証明まとめ


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