■ 問題
２曲線ｙ＝ｘｓｉｎｘ，ｙ＝ｃｏｓｘの交点におけるそれぞれの接線は、互いに直交することを証明せよ。
↓解答解説はお知らせの下に↓
━━━━━━━━━━━━━お知らせ━━━━━━━━━━━━━━━━━
★★★★★★★「ＡＥ個別学習室(えまじゅく)」生徒募集！★★★★★★★
★ ★
★ 茨城県水戸市、常陸太田市の個別指導教室 ★
★ 「ＡＥ個別学習室(えまじゅく)」では、生徒募集をしています。 ★
★ 対象は小学生・中学生・高校生・浪人生。社会人も歓迎します！ ★
★ オンライン授業も好評です！全国の生徒さんに対応可能です。 ★
★ ★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
えまじゅくでは、経験豊富なプロ講師のマンツーマン授業が受けられます。
授業料が最大で40%引きになる２人以上の同時指導も好評です！
今年も何人もの生徒さんが、第一志望(以上)の結果を出してくれました。
お問い合わせはこちらへどうぞ
家庭教師・塾のサイト→ http://www.a-ema.com/
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
■ 解答解説
「直交する」ということは、垂直条件ｍｍ'＝－１を満たす。と考えます。
それぞれの接線の傾きを求めて、積が－１になることを示せばＯＫですね！
ｙ＝ｘｓｉｎｘを微分して、
ｙ'＝ｓｉｎｘ＋ｘｃｏｓｘ
交点のｘ座標をｔとすると、ｙ＝ｘｓｉｎｘの接線の傾きｍは、
ｍ＝ｓｉｎｔ＋ｔｃｏｓｔ
もう一つの式ｙ＝ｃｏｓｘの方も同様に微分して、ｘにｔを代入していきます。
ｙ'＝－ｓｉｎｘ
ｘ＝ｔを代入すると、ｍ'＝－ｓｉｎｔ
これらの傾きを掛けたら－１になることを示します。
計算してみましょう！
(ｓｉｎｔ＋ｔｃｏｓｔ)・(－ｓｉｎｔ)
＝－ｓｉｎ2ｔ－ｔｓｉｎｔｃｏｓｔ
交点のｘ座標をｔとしたので、ｘ＝ｔのときの２つの式のｙ座標は等しいはずです。
つまり、
ｔｓｉｎｔ＝ｃｏｓｔ
ということができます。
これにより、ｔｓｉｎｔをｃｏｓｔに置き換えると、
＝－ｓｉｎ2ｔ－ｃｏｓｔ・ｃｏｓｔ
＝－ｓｉｎ2ｔ－ｃｏｓ2ｔ
＝－１
というわけで、２つの関数の交点における接線の傾きの積は－１であることがわかりました。
つまり、これらの接線は互いに直交する。といえます。
◆関連項目
ｙ＝ｘ3－ｘ2の接線
直線の垂直条件
微分積分(数学３)まとめ
江間淳の書籍はこちら
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！
プロ家庭教師の江間です。 ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/ http://www.a-ema.com/j/
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
ラベル：数学
