高校数学「微分」２曲線ｙ＝(１／２)ｘ2＋ａとｙ＝１／ｘが接するとき

高校数学「微分」２曲線ｙ＝(１／２)ｘ²＋ａとｙ＝１／ｘが接するとき

■　問題

２曲線ｙ＝(１／２)ｘ²＋ａとｙ＝１／ｘが接するようなａの値を求めよ。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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■　解答解説

２曲線が接するという条件ですが、接点は与えられていないので、接点のｘ座標を例えばｔとおきます。

接点は２曲線の共有点なので、接点のｙ座標は等しいですね。
それぞれにｘ＝ｔを代入してイコールで結ぶことができます。

(１／２)ｔ²＋ａ＝１／ｔ

まずはこんな式ができました。
さらに、ｘ＝ｔにおける接線の傾きは等しくなりますね。
つまりｙ'も等しくなるはずだから、それぞれ微分してイコールで結びます。

ｙ＝(１／２)ｘ²＋ａ
ｙ'＝ｘ

ｙ＝１／ｘ
ｙ'＝−１／ｘ²

それぞれｘ＝ｔを代入してイコールで結ぶと、

ｔ＝−１／ｔ²

あとは連立して解けばＯＫですね！

ｔ＝−１／ｔ²
ｔ³＝−１
接点の座標は実数なので、ｔ＝−１
これは接点のｘ座標だから、ｙ＝１／ｘに代入すると、ｙ＝−１

(１／２)ｔ²＋ａ＝１／ｔにｔ＝−１を代入して、
１／２＋ａ＝−１
　　　　ａ＝−３／２

というわけで、２曲線が接するときはａ＝−３／２で、接点の座標は(−１，−１)です。


◆関連項目
ｙ＝ｘ³−ｘ²の接線
直線の垂直条件
微分積分(数学３)まとめ


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