高校数学「微分」楕円の接線�A

高校数学「微分」楕円の接線�A

■　問題

楕円ｘ²／ａ²＋ｙ²／ｂ²＝１について、次の問いに答えよ。

(1) ｙ'を求めよ。

(2) この楕円上の点(ｘ₀，ｙ₀)における接線の方程式を求めよ。


↓(2)の解答解説はお知らせの下に↓

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■　解答解説

接線は数学２の微分でもやっているように、接する線で傾きは接点における微分係数です。
法線は接線の垂線です。
直線の垂直条件はｍｍ'＝−１でしたね。

ｙ'＝−ｂ²ｘ／ａ²ｙ

これをすでに(1)で求めているので、まずは接線の方程式を求めてみましょう！

接点の座標(ｘ₀，ｙ₀)だから、接線の傾きはｍ＝−ｂ²ｘ₀／ａ²ｙ₀です。

直線の式に接点の座標と傾きを代入して、

ｙ＝−(ｂ²ｘ₀／ａ²ｙ₀)(ｘ−ｘ₀)＋ｙ₀

接線の方程式はこれで一応完成していますが、さらに変形すると模範的です。

例えば、まず両辺にｙ₀／ｂ²をかけると、

ｙ₀ｙ／ｂ²＝−(ｘ₀／ａ²)(ｘ−ｘ₀)＋ｙ₀²／ｂ²

さらに、与式に接点の座標を代入するとｘ₀²／ａ²＋ｙ₀²／ｂ²＝１になることを利用する方向で変形すると、

ｙ₀ｙ／ｂ²＝−ｘ₀ｘ／ａ²＋ｘ₀²／ａ²＋ｙ₀²／ｂ²
ｙ₀ｙ／ｂ²＝−ｘ₀ｘ／ａ²＋１

というわけで、

ｙ₀ｙ／ｂ²＋ｘ₀ｘ／ａ²＝１

これが接線の方程式になります。


次の問題→法線の方程式


◆関連項目
合成関数の微分
ｙ＝ｘ³−ｘ²の接線
微分積分(数学３)まとめ


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