高校数学「微分」楕円の接線�B

高校数学「微分」楕円の接線�B

■　問題

楕円ｘ²／ａ²＋ｙ²／ｂ²＝１について、次の問いに答えよ。

(1) ｙ'を求めよ。

(2) この楕円上の点(ｘ₀，ｙ₀)における接線の方程式を求めよ。

(3) この楕円上の点(ｘ₀，ｙ₀)における法線の方程式を求めよ。


↓(3)の解答解説はお知らせの下に↓

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■　解答解説

法線は接線の垂線です。
直線の垂直条件はｍｍ'＝−１でしたね。
ということは、法線の傾きはｍ'＝−１／ｍとなります。

接線の傾きは(2)で求めたように、ｍ＝−ｂ²ｘ₀／ａ²ｙ₀です。
だから、この点における法線の傾きはｍ'＝ａ²ｙ₀／ｂ²ｘ₀となります。

点の座標は(2)と同じく(ｘ₀，ｙ₀)だから、求める直線は、

ｙ＝(ａ²ｙ₀／ｂ²ｘ₀)(ｘ−ｘ₀)＋ｙ₀

これで一応完成していますが、分数にならないようにさらに変形すると、

ｙ・ｂ²ｘ₀＝ａ²ｙ₀(ｘ−ｘ₀)＋ｙ₀・ｂ²ｘ₀

ｙ₀・ｂ²ｘ₀を移項して、ｂ²ｘ₀でくくれば、

ｂ²ｘ₀(ｙ−ｙ₀)＝ａ²ｙ₀(ｘ−ｘ₀)

このように変形すると扱いやすいかも知れません。


最初に戻る→(1) ｙ'を求めよ。


◆関連項目
合成関数の微分
ｙ＝ｘ³−ｘ²の接線
微分積分(数学３)まとめ


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