■ 問題
ｆ(ｘ)＝ｘ2(ｘ－１)3のとき、平均値の定理を用いて、ｆ'(ｃ)＝０となるｃが０と１の間に存在することを示せ。また、ｃを求めよ。
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■ 解答解説
「平均値の定理を用いて」とあるので、もちろん平均値の定理を使います。
今回の式の場合、ｆ(０)＝０，ｆ(１)＝０ですね。
つまり、ｆ(０)＝ｆ(１)＝０です。
ｘ＝０のときも１のときも同じ値で、これらの間に上がったり下がったりしているはずだから、これらの間にｆ'(ｃ)＝０となるｃが存在する。と推定できます。
もし、上がりっぱなし、下がりっぱなしだったら、ｆ(１)＝ｆ(０)＝０になるはずないですよね。
つまり、これらの間で増加減少が切り替わるポイントがあるので、ｆ'(ｃ)＝０になる点がある。と考えられます。
まずは与式を微分してみましょう！
ｆ(ｘ)＝ｘ2(ｘ－１)3
ｆ'(ｘ)＝(ｘ2)'(ｘ－１)3＋ｘ2{(ｘ－１)3}'
＝２ｘ(ｘ－１)3＋ｘ2３(ｘ－１)2
＝(ｘ－１)2{２ｘ(ｘ－１)＋３ｘ2}
＝(ｘ－１)2(２ｘ2－２ｘ＋３ｘ2)
＝(ｘ－１)2ｘ(５ｘ－２)
ｆ'(ｃ)＝０だから、ｘ＝１，０，２／５
ｃはｘ＝０，１の間なので、ｃ＝２／５
◆関連項目
積の微分法
微分積分(数学３)まとめ
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