■ 問題
f(x)=(x2+x+2)/(x+2)の増減を調べよ。
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■ 解答解説
増減の調べ方は、数学2の微分でやったものと、基本的に同じです。
つまり、微分してf'(x)の符号を調べる。というものです。
そして増減表を作るのが標準的ですね。
まずは与式を微分してみましょう!
f'(x)={(x2+x+2)'(x+2)−(x2+x+2)(x+2)'}/(x+2)2
={(2x+1)(x+2)−(x2+x+2)}/(x+2)2
=(2x2+5x+2−x2−x−2)/(x+2)2
=(x2+4x)/(x+2)2
=x(x+4)/(x+2)2
x=0,−4のとき、分子がゼロだからf'(x)=0となります。
また、x=−2のとき(x+2)2=0ですね。
これらの点を増減表に示していきます。
x | −4 | −2 | 0 | ||||
f'(x) | + | 0 | − | / | − | 0 | + |
f(x) | ↗ | ↘ | / | ↘ | ↗ |
というわけで、この関数f(x)は、
x≦−4,x≧0で増加し、−4<x<−2,−2<x<0で減少する。
このようになります。
◆関連項目
f(x)=x+√(2−x2)の最大値・最小値
微分積分(数学3)まとめ
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ラベル:数学