高校数学「微分」ｆ(ｘ)＝ｘ／ｅxの極値

高校数学「微分」ｆ(ｘ)＝ｘ／ｅ^xの極値

■　問題

ｆ(ｘ)＝ｘ／ｅ^xの極値を求めよ。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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■　解答解説

極値の求め方は、数学２の微分でやったものと、基本的に同じです。
ｆ(ｘ)を微分して、増減を調べて、増減表を作るのが標準的ですね。

まずは与式を微分してみましょう！

ｆ(ｘ)＝ｘ／ｅ^x
ｆ'(ｘ)＝{(ｘ)'・ｅ^x−ｘ・(ｅ^x)'}／(ｅ^x)2
　　＝(ｅ^x−ｘ・ｅ^x)／(ｅ^x)²
　　＝(１−ｘ)／ｅ^x

分子＝０のときｆ'(ｘ)＝０だから、１−ｘ＝０すなわちｘ＝１のときにｆ'(ｘ)＝０となります。

このときのｆ(ｘ)の値も求めておきます。

ｆ(１)＝１／ｅ

これらの情報をもとに、増減表を書いてみると、

ｘ		１
ｆ'(ｘ)	＋	０	−
ｆ(ｘ)	↗	１／ｅ	↘

というわけで、ｘ＝１で極大値１／ｅをとり、極小値はない。ことがわかりました！


◆関連項目
ｆ(ｘ)＝(ｘ²＋ｘ＋２)／(ｘ＋２)の増減、ｆ(ｘ)＝ｘ＋√(２−ｘ²)の最大値・最小値
微分積分(数学３)まとめ


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