2024年07月30日

本日配信のメルマガ。2023年共通テスト数学2B第5問

本日配信のメルマガでは、2023年大学入学共通テスト数学2B第5問を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
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■ 問題

2023年共通テスト数2Bより

第5問

 三角錐PABCにおいて、辺BCの中点をMとおく。また、∠PAB=∠PAC
とし、この角度をθとおく。ただし、0°<θ<90°とする。

(1) →AMは

  →AM=([ア]/[イ])・→AB+([ウ]/[エ])・→AC

と表せる。また

   (→AP・→AB)/(|→AP||→AB|)
  =(→AP・→AC)/(|→AP||→AC|)
  =[オ] ……{1}

である。

[オ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} sinθ     {1} cosθ     {2} tanθ   |
|{3} 1/sinθ   {4} 1/cosθ   {5} 1/tanθ |
|{6} sin∠BPC  {7} cos∠BPC  {8} tan∠BPC|
└―――――――――――――――――――――――――――――――┘


(2) θ=45°とし、さらに

  |→AP|=3√2,|→AB|=|→PB|=3,|→AC|=|→PC|=3

が成り立つ場合を考える。このとき

  →AP・→AB=→AP・→AC=[カ]

である。さらに、直線AM上の点Dが∠APD=90°を満たしているとする。
このとき→AD=[キ]・→AMである。


(3)
  →AQ=[キ]・→AM

で定まる点をQとおく。→PAと→PQが垂直である三角錐PABCはどのような
ものかについて考えよう。例えば(2)の場合では、点Qは点Dと一致し、→PAと
→PQは垂直である。

(i) →PAと→PQが垂直であるとき、→PQを→AB,→AC,→APを用いて
表して考えると、[ク]が成り立つ。さらに{1}に注意すると、[ク]から[ケ]が成り
立つことがわかる。

 したがって、→PAと→PQが垂直であれば、[ケ]が成り立つ。逆に[ケ]が成り
立てば→PAと→PQは垂直である。

[ク]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} →AP・→AB+→AP・→AC=→AP・→AP      |
|{1} →AP・→AB+→AP・→AC=−→AP・→AP     |
|{2} →AP・→AB+→AP・→AC=→AB・→AC      |
|{3} →AP・→AB+→AP・→AC=−→AB・→AC     |
|{4} →AP・→AB+→AP・→AC=0            |
|{5} →AP・→AB−→AP・→AC=0            |
└―――――――――――――――――――――――――――――――┘

[ケ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} |→AB|+|→AC|=√2・|→BC|            |
|{1} |→AB|+|→AC|=2|→BC|              |
|{2} |→AB|sinθ+|→AC|sinθ=|→AP|       |
|{3} |→AB|cosθ+|→AC|cosθ=|→AP|       |
|{4} |→AB|sinθ=|→AC|sinθ=2|→AP|      |
|{5} |→AB|cosθ+|→AC|cosθ=2|→AP|      |
└―――――――――――――――――――――――――――――――┘

(ii) kを正の実数とし

  k・→AP・→AB=→AP・→AC

が成り立つとする。このとき[コ]が成り立つ。

 また、点Bから直線APに下ろした垂線と直線APの交点をB'とし、同様に
点Cから直線APに下ろした垂線と直線APの交点をC'とする。

 このとき、→PAと→PQが垂直であることは、[サ]であることと同値である。
特にk=1のとき、→PAと→PQか垂直であることは、[シ]であることと同値で
ある。

[コ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} k|→AB|=|→AC|  {1} |→AB|=k|→AC|     |
|{2} k|→AP|=√2|→AB|  {3} k|→AP|=√2|→AC| |
└―――――――――――――――――――――――――――――――┘

[サ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} B'とC'がともに線分APの中点              |
|{1} B'とC'が線分APをそれぞれ(k+1):1と1:(k+1)に |
|  内分する点                        |
|{2} B'とC'が線分APをそれぞれ1:(k+1)と(k+1):1に |
|  内分する点                        |
|{3} B'とC'が線分APをそれぞれk:1と1:kに内分する点  |
|{4} B'とC'が線分APをそれぞれ1:kとk:1に内分する点  |
|{5} B'とC'がともに線分APをk:1に内分する点       |
|{6} B'とC'がともに線分APを1:kに内分する点       |
└―――――――――――――――――――――――――――――――┘

[シ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} △PABと△PACがともに正三角形            |
|{1} △PABと△PACがそれぞれ∠PBA=90°,      |
|  ∠PCA=90°を満たす直角二等辺三角形         |
|{2} △PABと△PACがそれぞれBP=BA,CP=CAを満たす|
|  二等辺三角形                       |
|{3} △PABと△PACが合同                 |
|{4} AP=BC                        |
└―――――――――――――――――――――――――――――――┘


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

  ベクトルまとめ→http://a-ema.seesaa.net/article/478238347.html

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■ 解説目次

 ◆1 ベクトルの成分と大きさ
 ◆2 ベクトルの四則計算
 ◆3 中点だから1/2
 ◆4 内積だから内積の公式

(以下略)

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■ 解説


◆1,2は省略します。


 ◆3 中点だから1/2

では今回の問題です。まずは問題の設定を確認しましょう!

「三角錐PABC」が登場します。
Pが頂点で、△ABCが底面と考えておくとよいと思います。

続いて「辺BCの中点をM」「∠PAB=∠PACとし、この角度をθとおく」

などの条件があります。

そして最初の設問は、→AMを→AB,→ACで表す問題です。

MはBCの中点なので、中点の公式を使って、

→AM=(1/2)・→AB+(1/2)・→AC

よって、[ア]=1,[イ]=2,[ウ]=1,[エ]=2


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 ◆4 内積だから内積の公式

次は

   (→AP・→AB)/(|→AP||→AB|)
  =(→AP・→AC)/(|→AP||→AC|)

について考えます。

→AP・→ABは内積ですね。

まず内積の公式の通りに式を立てると、

→AP・→AB=|→AP||→AB|cosθ

このように表すことができます。
この式の両辺を|→AP||→AB|で割れば、


(以下略)


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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