■ 問題
ｘ＞０のとき、不等式ｌｏｇ(１＋ｘ)＜ｘを証明せよ。
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■ 解答解説
ｘ＞０のとき、不等式ｌｏｇ(１＋ｘ)＜ｘを証明せよ。
不等式の証明は、「大きい方－小さい方＞０」を示せば良いです。
つまり、
ｘ－ｌｏｇ(１＋ｘ)＞０
を示せば、与式が成り立つということができます。
増減を調べるために、まずは微分してみましょう！
{ｘ－ｌｏｇ(１＋ｘ)}'＝１－１／(ｘ＋１)
ｘ＞０だから、１／(ｘ＋１)は１より小さくなります。
つまり、
１－１／(ｘ＋１)＞０
です。
導関数の値が常にプラスということは、接線の傾きが正の数です。
ということは、この関数は常に右上がりになります。
ｘ＝０のとき、０－ｌｏｇ(１＋０)＝０です。
右上がりの関数ということはｘがゼロより大きければ、式の値もゼロより大きい。ということができますね。
だから、与式は成り立つわけです。
◆関連項目
ｆ(ｘ)＝(ｘ2＋ｘ＋２)／(ｘ＋２)の増減、ｆ(ｘ)＝ｘ＋√(２－ｘ2)の最大値・最小値
微分積分(数学３)まとめ
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ラベル：数学
