高校数学「領域」ｘ2＋ｙ2≦９，ｘ≧０のとき、−ｘ＋ｙの最大値・最小値を求めよ。

高校数学「領域」ｘ²＋ｙ²≦９，ｘ≧０のとき、−ｘ＋ｙの最大値・最小値を求めよ。

■　問題

ｘ²＋ｙ²≦９，ｘ≧０のとき、−ｘ＋ｙの最大値・最小値を求めよ。


↓解答解説はお知らせの下に↓

━━━━━━━━━━━━━お知らせ━━━━━━━━━━━━━━━━━
★★★★★★★「ＡＥ個別学習室(えまじゅく)」生徒募集！★★★★★★★
★　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　★
★　　　茨城県水戸市、常陸太田市の個別指導教室　　　　　　　　　　★
★　「ＡＥ個別学習室(えまじゅく)」では、生徒募集をしています。　　★
★　対象は小学生・中学生・高校生・浪人生。社会人も歓迎します！　　★
★　オンライン授業も好評です！全国の生徒さんに対応可能です。　　　★
★　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★

　えまじゅくでは、経験豊富なプロ講師のマンツーマン授業が受けられます。

　授業料が最大で40%引きになる２人以上の同時指導も好評です！
　今年も何人もの生徒さんが、第一志望(以上)の結果を出してくれました。

　お問い合わせはこちらへどうぞ

　家庭教師・塾のサイト→ http://www.a-ema.com/

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

■　解答解説

領域を表す式は、ｘ²＋ｙ²≦９，ｘ≧０だから、原点を中心とする半径３の円のうち、ｙ軸の右側の部分です。
この範囲内のｘ，ｙのうち、−ｘ＋ｙの最大値・最小値を求める問題です。

−ｘ＋ｙ＝ｋとおくと、ｙ＝ｘ＋ｋと書き換えられます。
つまり、ｋは１次関数の切片になります。
だから、この１次関数の切片が最大になる場合と最小になる場合を考えればよい。と言えます。


まず最大の場合は、円とｙ軸との交点のうち、上側の方を通るときです。
半径３なので、(０，３)つまり、ｙ＝ｘ＋ｋの切片が３の場合です。

だから、ｘ＝０，ｙ＝３のとき最大値３ですね。


最小の場合は、１次関数がなるべく下の方を通る場合を考えます。
例えば、最大の場合の逆で、円とｙ軸との交点のうち、下側を通る場合が最小かな？と考えがちですが、その場合は円と１次関数が２点で交わっているので、もっと下に行くことができます。
ギリギリまで１次関数の位置を下げていくと・・・

円の接線になるときが一番下であることがわかると思います。

円の接線の求め方はいくつかありますが、ここでは判別式を使う方法でやってみます。
１次関数と合成して整理してから判別式ですね。

ｘ²＋ｙ²＝９にｙ＝ｘ＋ｋを代入して、
ｘ²＋(ｘ＋ｋ)²＝９
ｘ²＋ｘ²＋２ｋｘ＋ｋ²＝９
２ｘ²＋２ｋｘ＋ｋ²−９＝０

判別式をＤ＝ｂ²−４ａｃとすると、
Ｄ＝(２ｋ)²−４・２・(ｋ²−９)
　＝４ｋ²−８ｋ²−７２
　＝−４ｋ²−７２

接するときはＤ＝０だから、
−４ｋ²−７２＝０
　　ｋ²−１８＝０
(ｋ＋３√２)(ｋ−３√２)＝０
よって、ｋ＝±３√２

一番下の場合を考えているので、求めるｋの値は、ｋ＝−３√２です。
このときのｘ，ｙの値も求めます。

２ｘ²＋２ｋｘ＋ｋ²−９＝０にｋ＝−３√２を代入すると、
２ｘ²＋２(−３√２)ｘ＋(−３√２)²−９＝０
２ｘ²−６√２・ｘ＋１８−９＝０
２ｘ²−６√２・ｘ＋９＝０
ｘ＝[−(−６√２)±√{(−６√２)²−４・２・９}]／２・２
　＝{６√２±√(７２−７２)}／４
　＝(６√２)／４
　＝(３√２)／２

ｙ＝ｘ＋ｋだから、ｙ＝(３√２)／２−３√２＝(−３√２)／２

というわけで、ｘ＝(３√２)／２，ｙ＝(−３√２)／２で、最小値は−３√２


◆関連項目
図形と方程式まとめ

江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−