高校数学「領域」円の領域内のｙ／ｘの最大値・最小値

高校数学「領域」円の領域内のｙ／ｘの最大値・最小値

■　問題

点Ｐ(ｘ，ｙ)が、不等式(ｘ−３)²＋(ｙ−１)²≦１の表す領域上を動くとき、ｙ／ｘの最大値・最小値を求めよ。


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■　解答解説

点Ｐ(ｘ，ｙ)が、不等式(ｘ−３)²＋(ｙ−１)²≦１の表す領域上を動くとき、ｙ／ｘの最大値・最小値を求めよ。

前回の問題とだいたい同じやり方になります。

最大最小を考える式の値をｋとおいて、その関数を考えます。
つまり、

ｙ／ｘ＝ｋとおくと、ｙ＝ｋｘ

傾きｋの比例の式になりました。

この関数が領域を示す円と接する場合が最大最小になると考えられます。
というわけで合成して整理してみましょう！

(ｘ−３)²＋(ｋｘ−１)²＝１
ｘ²−６ｘ＋９＋ｋ²ｘ²−２ｋｘ＋１−１＝０
(ｋ²＋１)ｘ²−(２ｋ＋６)ｘ＋９＝０

接する場合は判別式Ｄ＝０だから、

Ｄ＝(２ｋ＋６)²−４・(ｋ²＋１)・９
　＝４ｋ²＋２４ｋ＋３６−３６ｋ²−３６
　＝−３２ｋ²＋２４ｋ

この式の値がゼロだから、

−３２ｋ²＋２４ｋ＝０
４ｋ²−３ｋ＝０
ｋ(４ｋ−３)＝０
ｋ＝０，３／４

ｙ／ｋ＝ｋだから、これらの値が最大最小になります。

ｋ＝０のとき、ｙ／ｘ＝０だからｙ＝０
円の式に代入して計算すれば、ｘ＝３が得られます。

ｋ＝３／４のときも同様に計算すると、ｘ＝１２／５，ｙ＝９／５


◆関連項目
図形と方程式まとめ

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