■ 問題
点Ｐ(ｘ，ｙ)が、不等式(ｘ－３)2＋(ｙ－１)2≦１の表す領域上を動くとき、ｘ2＋ｙ2の最大値・最小値を求めよ。
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■ 解答解説
点Ｐ(ｘ，ｙ)が、不等式(ｘ－３)2＋(ｙ－１)2≦１の表す領域上を動くとき、ｘ2＋ｙ2の最大値・最小値を求めよ。
前回の問題とだいたい同じやり方になります。
この手の問題では基本的には、最大最小を考える式の値をｋとおいて、その関数を考えます。
ただし、この問題では、ｘ2＋ｙ2＝ｋとおくと、円の方程式であることに気付くと思います。
円だから、ｋのかわりにｒ2とおくとやりやすいですね！
ｘ2＋ｙ2＝ｒ2とおくと、ｒは円の半径になります。
原点を中心として半径ｒの円ですね。
というわけて、ｒが最大のときと最小のときを求めれば良いことになります。
どんなときが最大・最小かというと・・・
不等式の表す領域も円だから、ｒの最大最小は２つの円が接するときになります。
２つの円が外接するときは、２つの円の中心間の距離が、円の半径の合計と等しくなります。
まずはこの場合を求めてみましょう！
中心間の距離は、√(３2＋１2)＝√１０
半径の和が√１０になるので、
ｒ＋１＝√１０
ｒ＝√１０－１
ｘ2＋ｙ2＝ｒ2だから、
ｒ2＝(√１０－１)2
＝１０－２√１０＋１
＝１１－２√１０
外接する場合の方が半径は小さいので、これが最小値になります。
続いて内接する場合です。
つまり、ｘ2＋ｙ2＝ｒ2が不等式の表す領域を含む場合です。
このときは、中心間の距離は半径の差になります。
２つの円の式自体は変わらないので、中心間の距離は√１０です。
半径の差が√１０になるので、
ｒ－１＝√１０
ｒ＝√１０＋１
これの２乗が最大値ですね。
ｒ2＝(√１０＋１)2
＝１０＋２√１０＋１
＝１１＋２√１０
よって、最大値１１＋２√１０，最小値１１－２√１０
◆関連項目
図形と方程式まとめ
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ラベル：数学
