■問題
次の三角不等式を解け。ただし、0≦θ<2πとする。
sin2θ−cos2θ+sinθ<0
↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓
10秒でわかる高校数学2B「三角関数」の考え方
「久しぶりの三角関数、分かりやすく直感で問題の解く方向が分かり楽しかった」などのコメントいただいています。ありがとうございます!
■解答解説
サインとコサイン両方あるとやりにくいので、まずはどちらか片方に統一します。
この場合は、sinθがあるので、コサインをサインに直して、サインだけの式にしてみましょう!
三角関数の相互関係より、sin2θ+cos2θ=1だから、cos2θ=1−sin2θ
これを代入すると、
sin2θ−(1−sin2θ)+sinθ>0
これでサインについての2次不等式になりました。
まずは普通に解いてサインの範囲を求めます。
sin2θ−1+sin2θ+sinθ>0
2sin2θ+sinθ−1>0
(2sinθ−1)(sinθ+1)>0
よって、sinθ<−1,sinθ>1/2
これがsinθの範囲です。
あとは、これに対応するθの範囲を求めます。
サインの値は−1より小さくなることはないので、sinθ<−1を満たすθはありません。
だから、結局のところ、sinθ>1/2を満たす範囲を求めれば良いですね!
というわけで、π/6<θ<(5/6)π
◆関連問題
三角不等式cos2θ+9sinθ+4<0
三角関数まとめ、2次不等式
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ラベル:数学