2024年08月08日

高校数学「三角関数」「三角不等式」「sin2θ−cos2θ+sinθ<0」

高校数学「三角関数」「三角不等式」「sin2θ−cos2θ+sinθ<0」

■問題

次の三角不等式を解け。ただし、0≦θ<2πとする。

sin2θ−cos2θ+sinθ<0



↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓

10秒でわかる高校数学2B「三角関数」の考え方

「久しぶりの三角関数、分かりやすく直感で問題の解く方向が分かり楽しかった」などのコメントいただいています。ありがとうございます!



■解答解説

サインとコサイン両方あるとやりにくいので、まずはどちらか片方に統一します。
この場合は、sinθがあるので、コサインをサインに直して、サインだけの式にしてみましょう!

三角関数の相互関係より、sin2θ+cos2θ=1だから、cos2θ=1−sin2θ

これを代入すると、

sin2θ−(1−sin2θ)+sinθ>0

これでサインについての2次不等式になりました。
まずは普通に解いてサインの範囲を求めます。

sin2θ−1+sin2θ+sinθ>0
2sin2θ+sinθ−1>0
(2sinθ−1)(sinθ+1)>0

よって、sinθ<−1,sinθ>1/2

これがsinθの範囲です。
あとは、これに対応するθの範囲を求めます。

サインの値は−1より小さくなることはないので、sinθ<−1を満たすθはありません。
だから、結局のところ、sinθ>1/2を満たす範囲を求めれば良いですね!

というわけで、π/6<θ<(5/6)π


◆関連問題
三角不等式cos2θ+9sinθ+4<0
三角関数まとめ2次不等式


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ラベル:数学
posted by えま at 21:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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