■ 問題
関数ｆ(ｘ)＝(１／３)ｘ3－ａｘ2＋(ａ＋１)ｘが、ｘ＝１で極値をもつように、定数ａの値を定めよ。また、極小値を求めよ。
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■ 解答解説
極値では、導関数の値がゼロです。
つまり、ｆ'(ｘ)＝０です。
というわけで、まずは微分してみましょう！
ｆ'(ｘ)＝ｘ2－２ａｘ＋ａ＋１
「ｘ＝１で極値をもつ」ということは、ｆ'(１)＝０です。
ｆ'(ｘ)＝１－２ａ＋ａ＋１＝０
－ａ＋２＝０
－ａ＝－２
ａ＝２
よって、ｘ＝１で極値をもつときはａ＝２であることがわかりました。
あとはａ＝２を代入して、極小値を求めていきます。
ｆ'(ｘ)＝ｘ2－４ｘ＋３
＝(ｘ－１)(ｘ－３)
よって、ｘ＝１，３
これはｆ'(ｘ)＝０のときのｘの値だから、つまりは、ｘ＝１，３で極値をもつ。ということができます。
ｆ(ｘ)は、ｘの３乗の係数がプラスなので、全体として右上がりです。
ということは、ｘ＝１で極大値、ｘ＝３で極小値です。
つまり、ｆ(３)の値が極小値になる。ということができます。
計算してみましょう！
ｆ(３)＝(１／３)・３3－２・３2＋３・３
＝９－１８＋９
＝０
まとめると、「ａ＝２，ｘ＝３で極小値０」となります。
◆関連問題
ｙ＝ｘ3－１２ｘ－１の極値
微分積分まとめ
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