【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2022年共通テスト数１Ａより
第１問
[1] 実数ａ，ｂ，ｃが
ａ＋ｂ＋ｃ＝１ ……{1}
および
ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝１３ ……{2}
を満たしているとする。
(1) (ａ＋ｂ＋ｃ)^2を展開した式において、{1}と{2}を用いると
ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝[アイ]
であることがわかる。よって
(ａ−ｂ)^2＋(ｂ−ｃ)^2＋(ｃ−ａ)^2＝[ウエ]
である。
(2) ａ−ｂ＝２√５の場合に、(ａ−ｂ)(ｂ−ｃ)(ｃ−ａ)の値を求めてみよう。
ｂ−ｃ＝ｘ，ｃ−ａ＝ｙとおくと
ｘ＋ｙ＝[オカ]√５
である。また、(1)の計算から
ｘ^2＋ｙ^2＝[キク]
が成り立つ。
これらより
(ａ−ｂ)(ｂ−ｃ)(ｃ−ａ)＝[ケ]√５
である。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ ２乗の展開の公式
◆２ 展開して代入するだけ
(以下略)
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■ 解説
◆１ ２乗の展開の公式
２０２２年数学１Ａ最初の設問は、展開に関する問題でした。
展開は、ひたすらがんばれば特に問題なくできますが、公式が使えるようになって
いると、より速く正確に計算することができます。
★(ａ＋ｂ＋ｃ)^2＝ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋２ａｂ＋２ｂｃ＋２ｃａ
２乗なので２次式で、「右辺はａ，ｂ，ｃがまんべんなく登場する」という
イメージを持つと覚えやすいと思います。
さらに、
★(ｘ＋ｙ)^2＝ｘ^2＋２ｘｙ＋ｙ^2
これを移項して、
★ｘ^2＋ｙ^2＝(ｘ＋ｙ)^2−２ｘｙ
であることも頭に入れておくと良いでしょう！
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◆２ 展開して代入するだけ
では今回の問題です。
ａ＋ｂ＋ｃ＝１，ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝１３が与えられていて、(ａ＋ｂ＋ｃ)^2の
展開を考えます。
公式に従うと、
(ａ＋ｂ＋ｃ)^2＝ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋２ａｂ＋２ｂｃ＋２ｃａ
ですね。これに{1}，{2}を代入すると、
つづく
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ラベル：数学
