高校数学「微分」ｆ(ｘ)がｘ＝３で極小値をもつように、定数ａ，ｂの値を定めよ

高校数学「微分」ｆ(ｘ)がｘ＝３で極小値をもつように、定数ａ，ｂの値を定めよ

■　問題

関数ｆ(ｘ)＝ｘ³−３ｘ²＋ａｘ＋ｂが、ｘ＝３で極小値−２６をもつように、定数ａ，ｂの値を定めよ。また、極大値を求めよ。


解答解説はこのページ下に


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■　解答解説

極値では、導関数の値がゼロです。
つまり、ｆ'(ｘ)＝０です。
というわけで、まずは微分してみましょう！

ｆ'(ｘ)＝３ｘ²−６ｘ＋ａ

ｘ＝３で極小値をもつということは、ｆ'(３)＝０ですね。
ということで代入して計算してみましょう！

ｆ'(３)＝３・３²−６・３＋ａ
　　＝２７−１８＋ａ
　　＝９＋ａ＝０
　　　　　ａ＝−９

まずはａの値が決まりました。

極小値は関数の式の値なので、ｆ(３)＝−２６です。
ａ＝−９とともに代入すると、

ｆ(３)＝３³−３・３²−９・３＋ｂ
　　＝２７−２７−２７＋ｂ
　　＝−２７＋ｂ＝−２６
　　　　　　　ｂ＝１

これで、ａ＝−９，ｂ＝１がわかりました。
ｆ(ｘ)の式が完成したので、あとは普通に極値を求めます。

ｆ(ｘ)＝ｘ³−３ｘ²−９ｘ＋１
ｆ'(ｘ)＝３ｘ²−６ｘ−９

極値ではｆ'(ｘ)＝０だから、

３ｘ²−６ｘ−９＝０
　ｘ²−２ｘ−３＝０
(ｘ＋１)(ｘ−３)＝０
よって、ｘ＝−１，３

ｘ＝３で極小値であることはわかっているので、ｘ＝−１のときが極大値のはずですね。
ということで計算してみましょう！

ｆ(−１)＝(−１)³−３(−１)²−９(−１)＋１
　　＝−１−３＋９＋１
　　＝６

よって、ａ＝−９，ｂ＝１，ｘ＝−１のとき極大値６


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微分積分まとめ


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