■ 問題
ｆ(ｘ)＝−２ｌｏｇｘ−(１／２)ｘ2＋３ｘとする。
定数ａについての方程式ｆ(ｘ)＝ａの実数解の個数を調べよ。
↓解答解説はお知らせの下に↓
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■ 解答解説
解の個数を考えるときも、増減表を描くと良いです。
増減表を描いて、ｙ＝ａとの共有点の個数を考えていきます。
まずは微分ですね。
ｆ'(ｘ)＝−２／ｘ−ｘ＋３
このままでは増減がわかりにくいので、通分してまとめます。
＝−２／ｘ−ｘ2／ｘ＋３ｘ／ｘ
＝(−ｘ2＋３ｘ−２)／ｘ
＝−(ｘ2−３ｘ＋２)／ｘ
＝−(ｘ−１)(ｘ−２)／ｘ
ｆ'(ｘ)＝０のときが増減が切り替わる、すなわち極値だから、ｘ＝１，２のときを増減表に示します。
ｆ(１)＝−２ｌｏｇ１−１／２＋３＝０−１／２＋３＝５／２
ｆ(２)＝−２ｌｏｇ２−(１／２)・２2＋３・２＝−２ｌｏｇ２−２＋６＝−２ｌｏｇ２＋４
またｘ＝０のとき分母がゼロで、ｘ→＋０のとき∞ですね。だから、０から１の区間では右下がりです。
| ｘ | ０ | １ | ２ | |||
| ｆ'(ｘ) | − | ０ | ＋ | ０ | − | |
| ｆ(ｘ) | ↘ | ５／２ | ↗ | −２ｌｏｇ２＋４ | ↘ |
ｘ＝１のときが極小値で、ｘ＝２のときが極大値であることがわかると思います。
つまり、これらの極値の間にｙ＝ａがくれば解は３個、ちょうど極値と同じなら２個、極大値より上または極小値より下なら１個。と分類できます。
というわけで、ｆ(ｘ)＝ａの実数解の個数は
５／２＜ａ＜−２ｌｏｇ２＋４のとき３個
ａ＝５／２，ａ＝−２ｌｏｇ２＋４のとき２個
ａ＜５／２，ａ＞４−２ｌｏｇ２のとき１個
このようになります！
◆関連項目
ｆ(ｘ)＝(ｘ2＋ｘ＋２)／(ｘ＋２)の増減、ｆ(ｘ)＝ｘ＋√(２−ｘ2)の最大値・最小値
微分積分(数学３)まとめ
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