■ 問題
∫(ｃｏｓｘ−１／ｃｏｓｘ)2ｄｘの不定積分を求めよ。
三角関数の積分をするときは、まず式の変形をする場合が多いです。
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■ 解答解説
積分する前に、できるだけ式を簡単にしておきます。
(ｃｏｓｘ−１／ｃｏｓｘ)2
＝ｃｏｓ2ｘ−２＋１／ｃｏｓ2ｘ
まずは展開したらこうなりますね。
さらに、半角の公式を使って、
＝(１＋ｃｏｓ２ｘ)／２−２＋１／ｃｏｓ2ｘ
これを積分していきます。
∫{(１＋ｃｏｓ２ｘ)／２−２＋１／ｃｏｓ2ｘ}ｄｘ
＝∫{(１＋ｃｏｓ２ｘ)／２}ｄｘ−２∫ｄｘ＋∫(１／ｃｏｓ2ｘ)ｄｘ
コサインを積分するとサインになる。１／ｃｏｓ2ｘを積分するとｔａｎｘになる。ということで、
＝ｘ／２＋(１／２)(ｓｉｎ２ｘ／２)−２ｘ＋ｔａｎｘ＋Ｃ
＝ｓｉｎ２ｘ／４＋ｔａｎｘ−(３／２)ｘ＋Ｃ
ｓｉｎ２ｘ＝２ｓｉｎｘｃｏｓｘを使ってさらに直してみると、
＝２ｓｉｎｘｃｏｓｘ／４＋ｔａｎｘ−(３／２)ｘ＋Ｃ
＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ／２＋ｔａｎｘ−(３／２)ｘ＋Ｃ
◆関連項目
不定積分、三角関数の不定積分
微分積分(数学３)まとめ
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