■ 問題
∫ｓｉｎ４ｘｃｏｓ３ｘｄｘの不定積分を求めよ。
三角関数の積分をするときは、まず式の変形をする場合が多いです。
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■ 解答解説
三角関数は様々な公式を用いて、単純な１次式に変形できる場合が多いです。
今回の式も、ｓｉｎ４ｘｃｏｓ３ｘをまずは変形します。
この形の場合は「積和の公式」ですね。
ｓｉｎαｃｏｓβ＝(１／２){ｓｉｎ(α＋β)＋ｓｉｎ(α−β)}
を使います。
この公式は、三角関数の加法定理から簡単に導くことができるので、忘れてしまった人は導いて、求める過程を実際に何度も経験すると良いです。
ｓｉｎ４ｘｃｏｓ３ｘ＝(１／２){ｓｉｎ(４ｘ＋３ｘ)＋ｓｉｎ(４ｘ−３ｘ)}
＝(１／２)(ｓｉｎ７ｘ＋ｓｉｎｘ)
というわけで、これを積分します。
(１／２)∫(ｓｉｎ７ｘ＋ｓｉｎｘ)ｄｘ
ここで、∫ｓｉｎ７ｘｄｘは、７ｘ＝ｔとおくと、ｄｔ／ｄｘ＝７よりｄｘ＝(１／７)ｄｔだから、
∫ｓｉｎ７ｘｄｘ＝∫ｓｉｎｔ(１／７)ｄｔ＝−(１／７)ｃｏｓｔ＋Ｃ
つまり、−(１／７)ｃｏｓ７ｘ＋Ｃです。
よって、
＝(１／２){−(１／７)ｃｏｓ７ｘ−ｃｏｓｘ}＋Ｃ
＝−(１／１４)(ｃｏｓ７ｘ＋７ｃｏｓｘ)＋Ｃ
◆関連項目
不定積分、三角関数の不定積分
微分積分(数学３)まとめ
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