■問題
ｙ＝ｓｉｎｘ−ｃｏｓｘの最大値・最小値を求めよ。ただし、０≦ｘ＜２πとする。
↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓
１０秒でわかる高校数学２Ｂ「三角関数」の考え方
「久しぶりの三角関数、分かりやすく直感で問題の解く方向が分かり楽しかった」などのコメントいただいています。ありがとうございます！
■解答解説
今回の式のように、サインもコサインも１次式の場合は三角関数の合成をやります。
ａｓｉｎθ＋ｂｃｏｓθの形とみなせば、ａ＝１，ｂ＝−１だから、
ｒ＝√{１2＋(−１)2}＝√２
そして、横がａ，縦がｂ，斜辺がｒの直角三角形を考えると、この場合は１：１：√２の直角三角形です。
右に１，下に１だからα＝−４５°となります。つまり、α＝−π／４
というわけで、与式は
ｙ＝√２・ｓｉｎ(ｘ−π／４)
と書き換えることができます。
あとはこれの最大値・最小値を考えます。
サインの値自体の最大は９０°＝π／２のとき１，最小は２７０°＝(３／２)πのとき−１ですね。
今回の問題の式では、角度の部分がｘ−π／４
ということは今回の問題では、最大になるのは、ｘ−π／４＝π／２すなわちｘ＝(３／４)πです。
このときサインの値は１ですが、√２がかけてあるので、
ｘ＝(３／４)πのとき最大値√２
です。
同様に最小値も考えてみると、
ｘ−π／４＝(３／２)πすなわちｘ＝(７／４)πのときに最小になるはずですね。つまり、
ｘ＝(７／４)πのとき最小値−√２
◆関連項目
ｙ＝ｓｉｎｘ−３ｃｏｓｘの最大最小
三角関数の合成
三角関数まとめ
江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！
プロ家庭教師の江間です。 ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/ http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ラベル：数学
