【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2022年共通テスト数１Ａより
第２問
[1] ｐ，ｑを実数とする。
花子さんと太郎さんは、次の二つの２次方程式について考えている。
ｘ^2＋ｐｘ＋ｑ＝０ ……{1}
ｘ^2＋ｑｘ＋ｐ＝０ ……{2}
{1}または{2}を満たす実数ｘの個数をｎとおく。
(1) ｐ＝４，ｑ＝－４のとき、ｎ＝[ア]である。
また、ｐ＝１，ｑ＝－２のときｎ＝[イ]である。
(2) ｐ＝－６のとき、ｎ＝３になる場合を考える。
┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜花子：例えば、{1}と{2}をともに満たす実数ｘがあるときはｎ＝３に｜
｜ なりそうだね。 ｜
｜太郎：それをαとしたら、α^2－６α＋ｑ＝０とα^2＋ｑα－６＝０｜
｜ が成り立つよ。 ｜
｜花子：なるほど。それならば、α^2を消去すれば、αの値が求められ｜
｜ そうだね。 ｜
｜太郎：確かにαの値が求まるけど、実際にｎ＝３となっているかどう｜
｜ かの確認が必要だね。 ｜
｜花子：これ以外にもｎ＝３となる場合がありそうだね。 ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――┘
ｎ＝３となるｑの値は
ｑ＝[ウ]，[エ]
である。ただし、[ウ]＜[エ]とする。
(3) 花子さんと太郎さんは、グラフ表示ソフトを用いて、{1}，{2}の左辺をｙと
おいた２次関数ｙ＝ｘ^2＋ｐｘ＋ｑとｙ＝ｘ^2＋ｑｘ＋ｐのグラフの動きを考えて
いる。
ｐ＝－６に固定したまま、ｑの値だけを変化させる。
ｙ＝ｘ^2－６ｘ＋ｑ ……{3}
ｙ＝ｘ^2＋ｑｘ－６ ……{4}
の二つのグラフについて、ｑ＝１のときのグラフを点線で、ｑの値を１から増加
させたときのグラフを実線でそれぞれ表す。このとき、{3}のグラフの移動の様子を
示すと[オ]となり、{4}のグラフの移動の様子を示すと[カ]となる。
[オ]，[カ]については、最も適当なものを、次の{0}～{7}のうちから一つずつ選べ。
ただし、同じ物を繰り返し選んでもよい。なお、ｘ軸とｙ軸は省略しているが、
ｘ軸は右方向、ｙ軸は上方向がそれぞれ正の方向である。
グラフはこちら→http://www.a-ema.com/img/2022math1a21a.png
(4) [ウ]＜ｑ＜[エ]とする。全体集合Ｕを実数全体の集合とし、Ｕの部分集合
Ａ，Ｂを
Ａ＝{ｘ｜ｘ^2－６ｘ＋ｑ＜０}
Ｂ＝{ｘ｜ｘ^2＋ｑｘ－６＜０}
＿
とする。Ｕの部分集合Ｘに対し、Ｘの補集合をＸと表す。このとき次のことが
成り立つ。
・ｘ∈Ａは、ｘ∈Ｂであるための[キ]。
＿
・ｘ∈Ｂは、ｘ∈Ａであるための[ク]。
[キ]，[ク]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} 必要条件であるが、十分条件ではない ｜
｜{1} 十分条件であるが、必要条件ではない ｜
｜{2} 必要十分条件である ｜
｜{3} 必要条件でも十分条件でもない ｜
└――――――――――――――――――――――――――┘
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ 第２問[1]は２次方程式、２次関数、必要条件・十分条件
◆２ 解の個数なら判別式
(以下略)
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■ 解説
◆１ 第２問[1]は２次方程式、２次関数、必要条件・十分条件
2022年共通テスト数学１Ａ第２問[1]は、２次方程式、２次関数、必要・十分条件の
問題でした。
対話文も含む問題になっていますが、着実に読み取って解いていきましょう！
まず
ｘ^2＋ｐｘ＋ｑ＝０ ……{1}
ｘ^2＋ｑｘ＋ｐ＝０ ……{2}
これらの２つの２次方程式があり、これらを満たす実数ｘの個数をｎとしています。
解の個数についての問題なので、判別式を使うのがノーマルですが、それだけで
なく、実際に解がいくつになるかも考えた方が良い場合もあります。
高校数学の２次関数については、ブログでいろいろな論点について解説しています。
http://a-ema.seesaa.net/article/478441371.html
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◆２ 解の個数なら判別式
では(1)です。
ｐとｑの値が与えられて、そのときのｎの値を求めます。
まず「ｐ＝４，ｑ＝－４のとき」は、
ｘ^2＋４ｘ－４＝０ ……{1}
ｘ^2－４ｘ＋４＝０ ……{2}
です。
それぞれの判別式Ｄ＝ｂ^2－４ａｃの値を求めます。
Ｄ1＝４^2－４×１×(－４)＝１６＋１６＝３２＞０
Ｄ2＝(－４)^2－４×１×４＝１６－１６＝０
つまり・・・
つづく
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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ラベル：数学
