【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2022年共通テスト数２Ｂより
第２問
[2] ｂ＞０とし、ｇ(ｘ)＝ｘ^3－３ｂｘ＋３ｂ^2，ｈ(ｘ)＝ｘ^3－ｘ^2＋ｂ^2と
おく。座標平面上の曲線ｙ＝ｇ(ｘ)をＣ1，曲線ｙ＝ｈ(ｘ)をＣ2とする。
Ｃ1とＣ2は２点で交わる。これらの交点のｘ座標をそれぞれα，β(α＜β)と
すると、α＝[サ]，β＝[シス]である。
α≦ｘ≦βの範囲でＣ1とＣ2で囲まれた図形の面積をＳとする。またｔ＞βとし、
β≦ｘ≦ｔの範囲でＣ1とＣ2および直線ｘ＝ｔで囲まれた図形の面積をＴとする。
このとき
Ｓ＝∫[α～β][セ]ｄｘ
Ｔ＝∫[β～t][ソ]ｄｘ
Ｓ－Ｔ＝∫[α～t][タ]ｄｘ
であるので
Ｓ－Ｔ＝([チツ]／[テ])(２ｔ^3－[ト]ｂｔ^2＋[ナニ]ｂ^2ｔ－[ヌ]ｂ^3)
が得られる。
したがって、Ｓ＝Ｔとなるのはｔ＝([ネ]／[ノ])ｂのときである。
[セ]～[タ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌―――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} {ｇ(ｘ)＋ｈ(ｘ)} {1} {ｇ(ｘ)－ｈ(ｘ)} ｜
｜{2} {ｈ(ｘ)－ｇ(ｘ)} {3} {２ｇ(ｘ)＋２ｈ(ｘ)} ｜
｜{4} {２ｇ(ｘ)－２ｈ(ｘ)} {5} {２ｈ(ｘ)－２ｇ(ｘ)} ｜
｜{6} ２ｇ(ｘ) {7} ２ｈ(ｘ) ｜
└―――――――――――――――――――――――――――┘
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
微分積分まとめ→http://a-ema.seesaa.net/article/478475977.html
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■ 解説目次
◆１ 積分は面積を表す
◆２ 交点なら連立方程式
(以下略)
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■ 解説
◆１ 積分は面積を表す
2022年共通テストも数学２Ｂ第２問は、微分積分の問題でした。
[2]は、主に面積に関する問題なので、座標平面上の図形の面積と積分について
簡単に説明しておきます。
まず、微分の逆が積分です。
導関数ｆ'(ｘ)を積分すると、もとの関数ｆ(ｘ)になる。という関係です。
微分するときには、「指数を１下げて、もとの指数を係数に掛ける」という方法
だったので、積分するときはこれの逆をして、
★「指数を１上げて、新しい指数の逆数を掛ける」
とします。
例えば、ｘ^2を積分すると、(１／３)ｘ^3となります。
また、★積分は、基本的に、積分した関数と横軸との間の面積を表します。
物理や図形の公式には、微分積分の関係になっているものがいくつもあるので、
探してみると良いですよ！
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◆２ 交点なら連立方程式
では今回の問題です。
「ｂ＞０とし、ｇ(ｘ)＝ｘ^3－３ｂｘ＋３ｂ^2，ｈ(ｘ)＝ｘ^3－ｘ^2＋ｂ^2」と
おいて、「ｙ＝ｇ(ｘ)をＣ1，曲線ｙ＝ｈ(ｘ)をＣ2」としています。
要するに、
Ｃ1：ｙ＝ｘ^3－３ｂｘ＋３ｂ^2
Ｃ2：ｙ＝ｘ^3－ｘ^2＋ｂ^2
ですね。
最初の設問では、これらの関数の交点を求めます。
交点は同時に両方を満たす点なので・・・
(以下略)
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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ラベル：数学
