2024年09月13日

本日配信のメルマガ。2022年共通テスト数学1A第3問

本日配信のメルマガでは、2022年大学入学共通テスト数学1A第3問を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
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■ 問題

2022年共通テスト数1Aより

第3問

 複数人がそれぞれプレゼントを一つずつ持ち寄り、交換会を開く。ただし、
プレゼントはすべて異なるとする。プレゼントの交換は次の[手順]で行う。

┌―手順――――――――――――――――――――――――――――――――┐
| 外見が同じ袋を人数分用意し、各袋にプレゼントを一つずつ入れたうえで、|
|各参加者に袋を一つずつでたらめに配る。各参加者は配られた袋の中の   |
|プレゼントを受け取る。                        |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘

 交換の結果、1人でも自分の持参したプレゼントを受け取った場合は、交換を
やり直す。そして、全員が自分以外の人の持参したプレゼントを受け取った
ところで交換会を終了する。

(1) 2人または3人で交換会を開く場合を考える。

 (i) 2人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了するプレゼントの
受け取り方は[ア]通りある。したがって、1回の交換で交換会が終了する確率は
[イ]/[ウ]である。

 (ii) 3人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了するプレゼントの
受け取り方は[エ]通りある。したがって、1回目の交換で交換会が終了する確率は
[オ]/[カ]である。

 (iii) 3人で交換会を開く場合、4回以下の交換で交換会が終了する確率は
[キク]/[ケコ]である。


(2) 4人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了する確率を次の[構想]
に基づいて求めてみよう。

┌―構想――――――――――――――――――――――――――――――┐
| 1回目の交換で交換会が[終了しない]プレゼントの受け取り方の総数を|
|求める。そのために、自分の持参したプレゼントを受け取る人数によって|
|場合分けをする。                         |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――┘

 1回目の交換で、4人のうち、ちょうど1人が自分の持参したプレゼントを
受け取る場合は[サ]通りあり、ちょうど2人が自分のプレゼントを受け取る場合
は[シ]通りある。このように考えていくと、1回目のプレゼントの受け取り方の
うち、1回目の交換で交換会が終了しない受け取り方の総数は[スセ]である。

 したがって、1回目の交換で交換会が終了する確率は[ソ]/[タ]である。


(3) 5人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了する確率は
[チツ]/[テト]である。


(4) A,B,C,D,Eの5人が交換会を開く。1回目の交換でA,B,C,Dが
それぞれ自分以外の人の持参したプレゼントを受け取ったとき、その回で交換会が
終了する条件付き確率は[ナニ]/[ヌネ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 Pは順列、Cは組み合わせ
 ◆2 同時に起こるなら×、同時に起こらないなら+
 ◆3 2人なら交換するかしないかだけ
 ◆4 3人ならa,b,cの順列

(以下略)

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■ 解説


◆1,2はここでは省略します。


 ◆3 2人なら交換するかしないかだけ

では今回の問題です。

「プレゼントの交換会をする」という設定です。

┌―手順――――――――――――――――――――――――――――――――┐
| 外見が同じ袋を人数分用意し、各袋にプレゼントを一つずつ入れたうえで、|
|各参加者に袋を一つずつでたらめに配る。各参加者は配られた袋の中の   |
|プレゼントを受け取る。                        |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘

 交換の結果、1人でも自分の持参したプレゼントを受け取った場合は、交換を
やり直す。そして、全員が自分以外の人の持参したプレゼントを受け取った
ところで交換会を終了する。

以上のように交換会を行うようです。


まずは2人で交換会をする場合を考えます。

2人でランダムに交換するならば・・・

自分のプレゼントを受け取るか、相手のプレゼントを受け取るかの2パターンしか
ありませんね。

「1回目の交換で交換会が終了する」のは、相手のプレゼントを受け取った場合
なので、1通りですね。

全体は2通りなので、1回で終了する確率は1/2です。

よって、[ア]=1,[イ]=1,[ウ]=2


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 ◆4 3人ならa,b,cの順列

3人で交換会を開く場合はもう少し複雑です。
ここからはちゃんと考えていきましょう!

3人をA,B,Cとして、それぞれが持参したプレゼントをa,b,cとします。

どのような交換の仕方があるかと考えてみると・・・


つづく


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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ラベル:数学
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