高校数学「確率」「期待値」３個の球の期待値

高校数学「確率」「期待値」３個の球の期待値

■　問題

赤玉が６個、白玉が５個入っている袋の中から続けて３個取り出したとき、白玉の出る個数の期待値を求めよ。


↓解答解説はお知らせの下に↓


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■　解答解説

期待値は平均してどのくらいの値になるか？を表す値で、値と確率をかけ算して合計したものになります。
今の教科書では、確率分布の表を書くのが標準となっていますが、この記事では表は省略します。

まずは考えられる全てのパターンを見つけて、それぞれの確率を求めてみましょう！

３個取り出したときの白の個数だから、０個から３個までの４パターンありますね。
これらの４パターンの確率を全て求めます。

(i)白０個のとき
合計１１個、赤は６個だから、
　₅Ｃ₃／₁₁Ｃ₃
＝{(６・５・４)／(３・２・１)}／{(１１・１０・９)／(３・２・１)}
＝(６・５・４)／(１１・１０・９)
＝４／３３

(ii)白１個のとき
白１個、赤２個だから、
　(₅Ｃ₁・₆Ｃ₂)／₁₁Ｃ₃
＝{(５／１)・(６・５)／(２・１)}／{(１１・１０・９)／(３・２・１)}
＝(５・３・５)／(１１・５・３)
＝５／１１

(iii)白２個のとき
白２個、赤１個だから、
　(₅Ｃ₂・₆Ｃ₁)／₁₁Ｃ₃
＝{６・(５・４)／(２・１)}／{(１１・１０・９)／(３・２・１)}
＝(６・５・２)／(１１・５・３)
＝４／１１

(iv)白３個のとき
合計１１個、白は５個だから、
　₅Ｃ₃／₁₁Ｃ₃
＝{(５・４・３)／(３・２・１)}／{(１１・１０・９)／(３・２・１)}
＝(５・４・３)／(１１・１０・９)
＝２／３３

これで４パターンの確率が全て出ました。
あとはそれぞれの値と確率を掛けて合計します。

　０×４／３３＋１×５／１１＋２×４／１１＋３×２／３３
＝５／１１＋８／１１＋２／１１
＝１５／１１


◆関連項目
コイン４回の場合、５回中２回が奇数の場合
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