【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2022年共通テスト数１Ａより
第４問
(1) ５^4＝６２５を２^4で割ったときの余りは１に等しい。このことを用いると、
不定方程式
５^4・ｘ－２^4・ｙ＝１ ……{1}
の整数解のうち、ｘが正の整数で最小になるのは
ｘ＝[ア]，ｙ＝[イウ]
であることがわかる。
また、{1}の整数解のうち、ｘが２桁の正の整数で最小になるのは
ｘ＝[エオ]，ｙ＝[カキク]
である。
(2) 次に、６２５^2を５^5で割ったときの余りと、２^5で割ったときの余りに
ついて考えてみよう。
まず
６２５^2＝５^[ケ]
であり、また、ｍ＝[イウ]とすると
６２５^2＝２^[ケ]・ｍ^2＋２^[コ]・ｍ＋１
である。これらより、６２５^2を５^5で割ったときの余りと、２^5で割ったときの
余りがわかる。
(3) (2)の考察は、不定方程式
５^5・ｘ－２^5・ｙ＝１ ……{2}
の整数解を調べるために利用できる。
ｘ，ｙを{2}の整数解とする。５^5・ｘは５^5の倍数であり、２^5で割ったときの
余りは１となる。よって、(2)により、５^5・ｘ－６２５^2は５^5でも２^5でも
割り切れる。５^5と２^5は互いに素なので、５^5・ｘ－６２５^2は５^5・２^5の
倍数である。
このことから、{2}の整数解のうち、ｘが３桁の正の整数で最小になるのは
ｘ＝[サシス]，ｙ＝[セソタチツ]
であることがわかる。
(4) １１^4を２^4で割ったときの余りは１に等しい。不定方程式
１１^5・ｘ－２^5・ｙ＝１の整数解のうち、ｘが正の整数で最小になるのは
ｘ＝[テト]，ｙ＝[ナニヌネノ]
である。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ 不定方程式は「特殊解→一般解」
◆２ 余りを消せば割りきれる
◆３ 特殊解を使って式を作る
(以下略)
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■ 解説
◆１ 不定方程式は「特殊解→一般解」
2022年共通テストも、数学１Ａ第４問は、不定方程式に関する問題でした。
不定方程式の基本的な解き方は、
何らかの方法で特殊解を求める。
→元の方程式と特殊解の差を用いて一般解を求める。
という流れになります。
この「何らかの方法で特殊解を求める」手段の一つが「ユークリッドの互除法」
ですね。
今回の問題のように係数が小さい場合は、
・適当な値を代入して探す。
・ｘまたはｙについて解いて、整数解を探す。
という方法でも、問題なく特殊解を求めることができます。
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◆２ 余りを消せば割りきれる
では今回の問題です。
まずは「５^4＝６２５を２^4で割ったときの余りは１に等しい」と言っています。
余りが１なので、先に１を引いておけば２^4で割り切れることになります。
つまり、
(６２５－１)÷１６＝６２４÷１６
＝３９
ですね。
これは、不定方程式
５^4・ｘ－２^4・ｙ＝１ ……{1}
にｘ＝１，ｙ＝３９を代入した場合になります。
よって、[ア]＝１，[イウ]＝３９
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◆３ 特殊解を使って式を作る
◆２で特殊解がわかったので、それをつかって不定方程式の計算をしてみましょう！
５^4＝６２５，２^4＝１６だから、
つづく
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ラベル：数学
