■問題
y=xとy=(2+√3)xのなす角θを求めよ。ただし、0<θ<π/2とする。
↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓
10秒でわかる高校数学2B「三角関数」の考え方
「久しぶりの三角関数、分かりやすく直感で問題の解く方向が分かり楽しかった」などのコメントいただいています。ありがとうございます!
■解答解説
2直線のなす角を求めるときは、タンジェントの加法定理を使います。
tanθ=y/xだから、タンジェントはx方向に1進んだときのyの増加量を表しています。
これはつまり直線の傾きと同じです。
今回の2直線はy=xとy=(2+√3)xだから、tanα=1,tanβ=2+√3と置いてみます。
そして、2直線の傾きから2直線のなす角がわかるので、tan(α−β)を計算すると2直線のなす角がわかる。という流れです。
加法定理よりtan(α−β)=(tanα−tanβ)/(1+tanαtanβ)で、これにタンジェントの値を代入して計算します。
tan(α−β)={1−(2+√3}/{1+1×(2+√3)}
=(1−2−√3)/(1+2+√3)
=(−1−√3)/(3+√3)
=(−1−√3)(3−√3)/(32−√32)
=(−3+√3−3√3+3)/(9−3)
=(−2√3)/6
=−√3/3
よって、α−β=(5/6)π
α−βの値は(5/6)πですが、2直線のなす角はπ/2より小さい値で表すので、π/6となります。
前の問題→y=−3xとy=2xのなす角θ
ちょっと応用問題→なす角がわかっていて、式を求める問題
◆関連項目
加法定理
三角関数まとめ
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ラベル:数学