高校数学「指数・対数」指数対数の連立方程式�@

高校数学「指数・対数」指数対数の連立方程式�@

■　問題

次の連立方程式を解け。

ｌｏｇ₂ｘ＋ｌｏｇ₂ｙ＝３　……�@
２^x+y＝６４　……�A


解答解説はこのページ下に


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■　解答解説

指数対数の連立方程式です。
真数条件に注意する必要はありますが、基本的な考え方は普通の連立方程式と同じです。
つまり、できるだけ単純な式にして、文字をどちらかに統一して、残った方程式を解く。という流れです。

まずはそれぞれ変形してみましょう！

�@より、
ｌｏｇ₂ｘｙ＝３
ｌｏｇ₂ｘｙ＝ｌｏｇ₂８
∴ｘｙ＝８　……�B

�Aより、
２^x+y＝２⁶
∴ｘ＋ｙ＝６　……�C

ｘ，ｙについての単純な式が２つできました。
あとはこれらを普通に解けばＯＫですね！

�Cよりｙ＝６−ｘ　……�D

�Dを�Bに代入して、

ｘ(６−ｘ)＝８
６ｘ−ｘ²−８＝０
ｘ²−６ｘ＋８＝０
(ｘ−２)(ｘ−４)＝０
よって、ｘ＝２，４

これらの値をそれぞれ�Dに代入すると、
ｘ＝２のときｙ＝４，ｘ＝４のときｙ＝２

真数条件より、ｘ＞０，ｙ＞０だから、どちらの解も範囲内にあります。
つまり求める解は、

ｘ＝２，ｙ＝４またはｘ＝４，ｙ＝２


◆関連項目
対数の公式、指数・対数まとめ


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