■ 問題
次の連立方程式を解け。
ｌｏｇ2ｘ＋ｌｏｇ2ｙ＝１ ……①
５x+y＝１２５ ……②
解答解説はこのページ下に
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■ 解答解説
指数対数の連立方程式です。
真数条件に注意する必要はありますが、基本的な考え方は普通の連立方程式と同じです。
つまり、できるだけ単純な式にして、文字をどちらかに統一して、残った方程式を解く。という流れです。
まずはそれぞれ変形してみましょう！
①より、
ｌｏｇ2ｘ＋ｌｏｇ2ｙ＝１
ｌｏｇ2ｘｙ＝ｌｏｇ2２
∴ｘｙ＝２ ……③
②より、
５x+y＝１２５
５x+y＝５3
∴ｘ＋ｙ＝３ ……④
ｘ，ｙについての単純な式が２つできました。
あとはこれらを普通に解けばＯＫですね！
④よりｙ＝３－ｘ ……⑤
⑤を③に代入して、
ｘ(３－ｘ)＝２
３ｘ－ｘ2－２＝０
ｘ2－３ｘ＋２＝０
(ｘ－１)(ｘ－２)＝０
よって、ｘ＝１，２
これらの値をそれぞれ⑤に代入すると、
ｘ＝１のときｙ＝２，ｘ＝２のときｙ＝１
真数条件より、ｘ＞０，ｙ＞０だから、どちらの解も範囲内にあります。
つまり求める解は、
ｘ＝１，ｙ＝２またはｘ＝２，ｙ＝１
前の問題はこちら
◆関連項目
対数の公式、指数・対数まとめ
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ラベル：数学
