2024年10月16日

高校数学「三角関数」三角不等式cos2θ−sinθ≦0

高校数学「三角関数」三角不等式cos2θ−sinθ≦0

■問題

三角不等式cos2θ−sinθ≦0を解け。ただし、0≦θ<2πとする。


↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓

10秒でわかる高校数学2B「三角関数」の考え方

「久しぶりの三角関数、分かりやすく直感で問題の解く方向が分かり楽しかった」などのコメントいただいています。ありがとうございます!


■解答解説

三角不等式cos2θ−sinθ≦0を解け。

角度の部分が2θとθで揃っていないので、2倍角の公式を使ってまずは揃えます。

cos2θ=cos2θ−sin2θ
    =1−2sin2θ

これをcos2θに代入すると、

1−2sin2θ−sinθ≦0

これで比較的簡単な2次不等式になりました。
あとは普通に解いていきます。

2sin2+sinθ−1≧0
(2sinθ−1)(sinθ+1)≧0
よって、sinθ≦−1,sinθ≧1/2

これらは、この2次不等式を満たすサインの値の範囲が、sinθ≦−1,sinθ≧1/2であることを意味しています。

あとは、これらの式からθの値の範囲を求めます。

sinθ≦−1より、θ=(3/2)π
sinθ≧1/2より、π/6≦θ≦(5/6)π

よって求めるθの範囲は、θ=(3/2)π,π/6≦θ≦(5/6)π


◆関連項目
加法定理2倍角の公式
三角関数の相互関係
三角関数まとめ


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ラベル:数学
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