■問題
三角不等式cos2θ−sinθ≦0を解け。ただし、0≦θ<2πとする。
↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓
10秒でわかる高校数学2B「三角関数」の考え方
「久しぶりの三角関数、分かりやすく直感で問題の解く方向が分かり楽しかった」などのコメントいただいています。ありがとうございます!
■解答解説
三角不等式cos2θ−sinθ≦0を解け。
角度の部分が2θとθで揃っていないので、2倍角の公式を使ってまずは揃えます。
cos2θ=cos2θ−sin2θ
=1−2sin2θ
これをcos2θに代入すると、
1−2sin2θ−sinθ≦0
これで比較的簡単な2次不等式になりました。
あとは普通に解いていきます。
2sin2+sinθ−1≧0
(2sinθ−1)(sinθ+1)≧0
よって、sinθ≦−1,sinθ≧1/2
これらは、この2次不等式を満たすサインの値の範囲が、sinθ≦−1,sinθ≧1/2であることを意味しています。
あとは、これらの式からθの値の範囲を求めます。
sinθ≦−1より、θ=(3/2)π
sinθ≧1/2より、π/6≦θ≦(5/6)π
よって求めるθの範囲は、θ=(3/2)π,π/6≦θ≦(5/6)π
◆関連項目
加法定理、2倍角の公式
三角関数の相互関係
三角関数まとめ
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ラベル:数学