◆問題
２点(－５，１)，(２，８)を通り、ｘ軸に接する円の方程式を求めよ。
円の方程式に関するもう少し難しい問題です。
中心に関する情報はないように見えますが、(ｘ－ａ)2＋(ｙ－ｂ)2＝ｒ2を使います。
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◆解答解説
２点(－５，１)，(２，８)を通り、ｘ軸に接する円の方程式を求めよ。
中心に関する情報は書いてないし、円周上の点も２つしかわからない。
「無理！」となってしまう人も多いと思いますが、そんなときこそわかる情報を一つ一つ確認してできることをやっていく。という意識が大切です。
まず円周上の点は(－５，１)と(２，８)この２点がわかっているので、式さえできればこれらの座標をｘ，ｙに代入することができます。
「ｘ軸に接する」ということから何が言えるでしょうか？
円と接線の性質より、中心から接点に引いた半径は接線と垂直に交わる。ということができます。
ｘ軸に対して垂直な線上に中心があるので、つまり、接点の真上に中心がある。と推定できますね！
接点の座標を(ａ，０)とすれば、中心のｘ座標もａです。
さらに、ｘ軸から半径の分だけ上に進んだ点が中心だから、中心のｙ座標は半径と等しくなります。
つまり、半径をｒとすれば、中心の座標は(ａ，ｒ)ですね！
というわけで、円の方程式はまず、
(ｘ－ａ)2＋(ｙ－ｒ)2＝ｒ2
このように表すことができます。
ｘ，ｙに座標を代入すれば、残る文字はａ，ｒだけになるので、連立方程式で解けそうですね。
(－５，１)のとき、
(－５－ａ)2＋(１－ｒ)2＝ｒ2
２５＋１０ａ＋ａ2＋１－２ｒ＋ｒ2＝ｒ2
ａ2＋１０ａ－２ｒ＋２６＝０
(２，８)のとき、
(２－ａ)2＋(８－ｒ)2＝ｒ2
４－４ａ＋ａ2＋６４－１６ｒ＋ｒ2＝ｒ2
ａ2－４ａ－１６ｒ＋６８＝０
これらの連立方程式を解きます。
ａ2＋１０ａ－２ｒ＋２６＝ａ2－４ａ－１６ｒ＋６８
１４ａ＝－１４ｒ＋４２
ａ＝－ｒ＋３
これをａ2＋１０ａ－２ｒ＋２６＝０に代入すると、
(－ｒ＋３)2＋１０(－ｒ＋３)－２ｒ＋２６＝０
ｒ2－６ｒ＋９－１０ｒ＋３０－２ｒ＋２６＝０
ｒ2－１８ｒ＋６５＝０
(ｒ－５)(ｒ－１３)＝０
よって、ｒ＝５，１３
ｒ＝５のとき、ａ＝－５＋３＝－２
ｒ＝１３のとき、ａ＝－１３＋３＝－１０
これでａ，ｒがわかりました。あとは方程式を答えて完成ですね！
求める方程式は、(ｘ－ａ)2＋(ｙ－ｒ)2＝ｒ2だったので、これにそれぞれａ，ｒを代入します。
(ｘ＋２)2＋(ｙ－５)2＝５2
(ｘ＋２)2＋(ｙ－５)2＝２５
(ｘ＋１０)2＋(ｙ－１３)2＝１３2
(ｘ＋１０)2＋(ｙ－１３)2＝１６９
◆関連項目
円の方程式の基本
図形と方程式まとめ
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ラベル：数学
