関数ｙ＝ｘ4－６ｘ2＋５の極値を求めよ。
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◆解答解説
関数ｙ＝ｘ4－６ｘ2＋５の極値を求めよ。
極値とは増加減少の切り替わるポイントで、つまりは接線の傾きがゼロのところになります。
接線の傾きは、導関数によって求められます。
というわけで、極値を求める場合もまずは微分します。
ｙ'＝４ｘ3－１２ｘ
導関数の値がゼロの場合だから、イコールゼロで解きます。
４ｘ3－１２ｘ＝０
ｘ3－３ｘ＝０
ｘ(ｘ2－３)＝０
ｘ(ｘ＋√３)(ｘ－√３)＝０
よって、ｘ＝０，±３
あとは増減表を描いて、極大極小を求めていきます。
| ｘ | … | －√３ | … | ０ | … | √３ | … |
| ｙ' | ０ | ０ | ０ | ||||
| ｙ |
まずはこのようにｘの値を書いて、その下のｙ'の欄にゼロを入れます。ｙ'＝０で解いたのだから、ｘ＝０，±√３のところはｙ'＝０ですね。
続いて、ｙ'の値を調べて符号がプラスかマイナスかを書き入れます。
| ｘ | … | －√３ | … | ０ | … | √３ | … |
| ｙ' | － | ０ | ＋ | ０ | － | ０ | ＋ |
| ｙ |
あとはｙ'の符号に従って、ｙの増減を矢印で示し、極大・極小を書き込みます。
| ｘ | … | －√３ | … | ０ | … | √３ | … |
| ｙ' | － | ０ | ＋ | ０ | － | ０ | ＋ |
| ｙ | ↘ | 極小 | ↗ | 極大 | ↘ | 極小 | ↗ |
それぞれの極値を計算して完了です。
ｘ＝－√３のとき、ｙ＝(－√３)4－６(－√３)2＋５＝９－１８＋５＝－４
ｘ＝０のとき、ｙ＝５
ｘ＝√３のとき、ｙ＝(√３)4－６(√３)2＋５＝９－１８＋５＝－４
というわけで、極値は以下のようになります。
ｘ＝０のとき極大値５，ｘ＝±√３のとき極小値－４
◆関連問題
微分積分(数学２)まとめ
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ラベル：数学
