2024年11月11日

高校数学「微分」f(1)=2などから3次関数f(x)の式を求める問題

高校数学「微分」f(1)=2などから3次関数f(x)の式を求める問題


◆問題

3の係数が1で、f(1)=2,f(−1)=−2,f'(−1)=0である3次関数f(x)を求めよ。



↓解答解説はお知らせの下↓

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◆解答解説

3の係数が1で、f(1)=2,f(−1)=−2,f'(−1)=0である3次関数f(x)を求めよ。

「関数の式がわからないなら、文字でおいてみよう!」という考え方をします。
3次関数だからまず、一般的には、f(x)=ax3+bx2+cx+dとおくことができます。

与えられた条件から、式を立てていきます。

「x3の係数が1」だから、a=1です。
つまり、f(x)=x3+bx2+cx+dです。

あとはそれぞれの条件を一つ一つ表すと、

f(1)=1+b+c+d=2
     b+c+d=1 ……@

f(−1)=−1+b−c+d=−2
       b−c+d=−1 ……A

f'(x)=3x2+2bx+c
f'(−1)=3−2b+c=0
      −2b+c=−3 ……B

@−Aより、2c=2よって、c=1 ……C

CをBに代入して、
−2b+1=−3よって、b=2

@にこれらの値を代入して、2+1+d=1よって、d=−2

これでa,b,c,dすべてわかりましたね。
というわけで求める式は、

f(x)=x3+2x2+x−2


◆関連項目
f'(2)=−5などから2次関数f(x)の式を求める問題
微分積分(数学2)まとめ


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