◆問題
x3の係数が1で、f(1)=2,f(−1)=−2,f'(−1)=0である3次関数f(x)を求めよ。
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◆解答解説
x3の係数が1で、f(1)=2,f(−1)=−2,f'(−1)=0である3次関数f(x)を求めよ。
「関数の式がわからないなら、文字でおいてみよう!」という考え方をします。
3次関数だからまず、一般的には、f(x)=ax3+bx2+cx+dとおくことができます。
与えられた条件から、式を立てていきます。
「x3の係数が1」だから、a=1です。
つまり、f(x)=x3+bx2+cx+dです。
あとはそれぞれの条件を一つ一つ表すと、
f(1)=1+b+c+d=2
b+c+d=1 ……@
f(−1)=−1+b−c+d=−2
b−c+d=−1 ……A
f'(x)=3x2+2bx+c
f'(−1)=3−2b+c=0
−2b+c=−3 ……B
@−Aより、2c=2よって、c=1 ……C
CをBに代入して、
−2b+1=−3よって、b=2
@にこれらの値を代入して、2+1+d=1よって、d=−2
これでa,b,c,dすべてわかりましたね。
というわけで求める式は、
f(x)=x3+2x2+x−2
◆関連項目
f'(2)=−5などから2次関数f(x)の式を求める問題
微分積分(数学2)まとめ
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ラベル:数学