高校数学「微分」３次方程式２ｘ3−６ｘ−１＝０の実数解の個数

高校数学「微分」３次方程式２ｘ³−６ｘ−１＝０の実数解の個数


◆問題

３次方程式２ｘ³−６ｘ−１＝０の実数解の個数を求めよ。



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◆解答解説

３次方程式２ｘ³−６ｘ−１＝０の実数解の個数を求めよ。

方程式の実数解は、関数ｙ＝ｆ(ｘ)のｘ軸との交点により求めることができます。
だから、ｘ軸との共有点の個数が実数解の個数と等しくなります。

３次関数とｘ軸との共有点の個数は、極値とｘ軸との位置関係により決まる。ということができます。

極値を使うのだから、まずは微分ですね！

ｆ(ｘ)＝２ｘ³−６ｘ−１とおくと、
ｆ'(ｘ)＝６ｘ²−６

ｆ'(ｘ)＝０のとき極値だから、

６ｘ²−６＝０
　ｘ²−１＝０
　　　(ｘ＋１)(ｘ−１)＝０
よって、ｘ＝±１

そして増減表です。

ｘ	…	−１	…	１	…
ｙ'	＋	０	−	０	＋
ｙ	↗	極大	↘	極小	↗

ｆ(−１)＝２(−１)³−６・(−１)−１
　　　＝−２＋６−１
　　　＝３
ｆ(１)＝２−６−１
　　＝−５

つまり、極大値は３，極小値は−５です。
極大値は正の数、極小値は負の数ですね。
ということは、極大値と極小値の間にｘ軸がくるので、この３次関数とｘ軸は３つの交点をもちます。

交点が３つだから、もとの３次方程式の解の個数は３つです。


◆関連項目
３次方程式ｘ³＋４ｘ²−３ｘ＋ａ＝０の異なる実数解の個数
微分積分(数学２)まとめ


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