◆問題
平行四辺形ABCDにおいて、AE:ED=1:3とする。

(1) △DEF:△BCF:△CDFを求めよ。
(2) 四角形ABFEの面積は平行四辺形ABCDの何倍か?
↓(1)の解答解説はお知らせの下↓
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◆解答解説
まず、相似な三角形を見つけましょう。
平行四辺形は対辺がそれぞれ平行なので、同位角や錯角が等しいので、相似な三角形がいくつもできる場合が多いです。
今回の図形でも、△DEF∽△BCFです。
錯角が等しい。対頂角が等しい。ということから、2組の角がそれぞれ等しいことがわかると思います。
相似ならば、相似比の2乗が面積比です。
というわけで、まずはこれらの三角形の相似比を考えます。
AE:ED=1:3なので、ADは4ですね。
AE+ED=ADだから、AD=4です。
そして、平行四辺形の対辺は等しいので、AD=BCです。つまり、BCも4です。
DEとBCは△DEFと△BCFの対応する辺だから、これらの辺の比がそのまま相似比です。つまり、3:4ですね。
ということで、△DEF:△BCF=32:42=9:16
次に、△DEFと△CDFの比を考えましょう。
これらの三角形は相似ではないので、底辺の比や高さの比を考える必要があります。
底辺を直線EC上の辺とみなすと、どちらも頂点はDとなります。
底辺が同じ直線上にあり、頂点が同じなら、高さは同じです。
高さが同じならば、底辺の比がそのまま面積比になります。
EFとCFは、先ほどの△DEFと△BCFの対応する辺だから、3:4です。
つまり、△DEF:△CDF=3:4となります。
これで2組の面積比が分かりました。
あとはこれらを組み合わせます。
△DEF:△BCF=9:16
△DEF:△CDF=3:4
共通の比として扱うために、△DEFの数値を揃えてみましょう。
△DEF:△BCF=9:16
△DEF:△CDF=9:12
これをまとめると、
△DEF:△BCF:△CDF=9:16:12
これが(1)の解答です!
次の問題→(2) 四角形ABFEは平行四辺形ABDEの何倍か?
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