2024年11月15日

中学数学「相似」平行四辺形の内部の三角形の面積比@

中学数学「相似」平行四辺形の内部の三角形の面積比@

◆問題

平行四辺形ABCDにおいて、AE:ED=1:3とする。

parallelogram_abcdef.png


(1) △DEF:△BCF:△CDFを求めよ。

(2) 四角形ABFEの面積は平行四辺形ABCDの何倍か?


↓(1)の解答解説はお知らせの下↓

=================== お知らせ ======================

★★★★★★★「AE個別学習室(えまじゅく)」生徒募集!★★★★★★★
★                                ★
★     茨城県水戸市、常陸太田市の個別指導教室        ★
★ 「AE個別学習室(えまじゅく)」では、生徒募集をしています。  ★
★ 対象は小学生・中学生・高校生・浪人生。社会人も歓迎します!  ★
★ オンライン授業も好評です!全国の生徒さんに対応可能です。   ★
★                                ★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★

 えまじゅくでは、経験豊富なプロ講師のマンツーマン授業が受けられます。
 授業料が最大で40%引きになる、3人までの同時指導も好評です!
 オンラインでも複数人同時指導対応しています。
 今年も何人もの生徒さんが、第一志望(以上)の結果を出してくれました。

 興味をお持ちの方は、まずは j@a-ema.com までお問い合わせください。

 家庭教師・塾のサイトと連絡先はここ → http://www.a-ema.com/

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

◆解答解説

まず、相似な三角形を見つけましょう。

平行四辺形は対辺がそれぞれ平行なので、同位角や錯角が等しいので、相似な三角形がいくつもできる場合が多いです。

今回の図形でも、△DEF∽△BCFです。
錯角が等しい。対頂角が等しい。ということから、2組の角がそれぞれ等しいことがわかると思います。

相似ならば、相似比の2乗が面積比です。
というわけで、まずはこれらの三角形の相似比を考えます。

AE:ED=1:3なので、ADは4ですね。
AE+ED=ADだから、AD=4です。
そして、平行四辺形の対辺は等しいので、AD=BCです。つまり、BCも4です。

DEとBCは△DEFと△BCFの対応する辺だから、これらの辺の比がそのまま相似比です。つまり、3:4ですね。

ということで、△DEF:△BCF=32:42=9:16


次に、△DEFと△CDFの比を考えましょう。
これらの三角形は相似ではないので、底辺の比や高さの比を考える必要があります。

底辺を直線EC上の辺とみなすと、どちらも頂点はDとなります。
底辺が同じ直線上にあり、頂点が同じなら、高さは同じです。

高さが同じならば、底辺の比がそのまま面積比になります。

EFとCFは、先ほどの△DEFと△BCFの対応する辺だから、3:4です。

つまり、△DEF:△CDF=3:4となります。

これで2組の面積比が分かりました。
あとはこれらを組み合わせます。

△DEF:△BCF=9:16
△DEF:△CDF=3:4

共通の比として扱うために、△DEFの数値を揃えてみましょう。

△DEF:△BCF=9:16
△DEF:△CDF=9:12

これをまとめると、

△DEF:△BCF:△CDF=9:16:12

これが(1)の解答です!


次の問題→(2) 四角形ABFEは平行四辺形ABDEの何倍か?


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ラベル:数学
posted by えま at 21:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 中学数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
この記事へのコメント
コメントを書く
お名前: [必須入力]

メールアドレス: [必須入力]

ホームページアドレス:

コメント: [必須入力]


この記事へのトラックバック
こんなヤツです
名前:江間淳
年齢:41
職業:プロ家庭教師、AE個別学習室(えまじゅく)代表、翻訳者
ウェブサイトURL:http://www.a-ema.com/
メールアドレス:j@a-ema.com
一言:アプリ、メルマガ、電子書籍提供中です。アマゾンやGooglePlayで「江間淳」で検索!
江間淳の書籍一覧 → http://amzn.to/2m9LTvN