高校数学「微分」曲線ｙ＝ｘ3＋３ｘ2の接線のうち(０，ａ)を通るもの�@

高校数学「微分」曲線ｙ＝ｘ³＋３ｘ²の接線のうち(０，ａ)を通るもの�@


◆問題

曲線ｙ＝ｘ³＋３ｘ²について、次の問いに答えよ。

(1) Ｃ上の点Ｐ(ｔ，ｔ³＋３ｔ²)におけるＣの接線が点Ａ(０，ａ)を通るとき、等式２ｔ³＋３ｔ²＋ａ＝０が成り立つことを示せ。

(2) 点Ａを通るＣの接線が３本存在するとき、ａの値の範囲を求めよ。


↓(1)の解答解説はお知らせの下↓


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◆解答解説

(1) Ｃ上の点Ｐ(ｔ，ｔ³＋３ｔ²)におけるＣの接線が点Ａ(０，ａ)を通るとき、等式２ｔ＋３ｔ²＋ａ＝０が成り立つことを示せ。

接線について考えるので、まずは微分しましょう！

ｙ'＝３ｘ²＋６ｘ

ですね。
これが接線の傾きを表します。
接点Ｐのｘ座標はｔだから、Ｐにおける接線の傾き３ｔ²＋６ｔです。

接点の座標と傾きをｔで表したので、接線の方程式はｔを用いて、

ｙ−(ｔ³＋３ｔ²)＝(３ｔ²＋６ｔ)(ｘ−ｔ)

このように表すことができます。
ｙ−ｙ1＝ｍ(ｘ−ｘ1)に代入しただけです。

さらに、この接線は点Ａを通るので、ｘ，ｙにＡの座標を代入することができます。

ａ−(ｔ³＋３ｔ²)＝(３ｔ²＋６ｔ)(０−ｔ)

では計算してみましょう！

ａ−ｔ³−３ｔ²＝−３ｔ³−６ｔ²
２ｔ³＋３ｔ²＋ａ＝０

というわけで、目的の式を導くことができました。


次の問題→接線が３本のときのａ


◆関連項目
接線の方程式の求め方
ｙ＝ｘ³の接線のうち、(１，０)を通るもの
微分積分(数学２)まとめ


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