高校数学「微分」曲線ｙ＝ｘ3＋３ｘ2の接線のうち(０，ａ)を通るもの�A

高校数学「微分」曲線ｙ＝ｘ³＋３ｘ²の接線のうち(０，ａ)を通るもの�A


◆問題

曲線ｙ＝ｘ³＋３ｘ²について、次の問いに答えよ。

(1) Ｃ上の点Ｐ(ｔ，ｔ³＋３ｔ²)におけるＣの接線が点Ａ(０，ａ)を通るとき、等式２ｔ³＋３ｔ²＋ａ＝０が成り立つことを示せ。

(2) 点Ａを通るＣの接線が３本存在するとき、ａの値の範囲を求めよ。


↓(2)の解答解説はお知らせの下↓


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◆解答解説

(2) 点Ａを通るＣの接線が３本存在するとき、ａの値の範囲を求めよ。

(1)で、Ｃ上の点Ｐ(ｔ，ｔ³＋３ｔ²)におけるＣの接線が点Ａ(０，ａ)を通るとき、等式２ｔ＋３ｔ²＋ａ＝０が成り立つことを確認しました。

この方程式のｔは接点の座標なので、この方程式の解の個数が接点の個数、すなわち、接線の本数になります。

今回の問題では、接線が３本の場合を考えるので、異なる３つの実数解の場合について考えます。

３次方程式２ｘ³−６ｘ−１＝０の実数解の個数の場合と同様にやっていきましょう！

ｆ(ｔ)＝２ｔ³＋３ｔ²＋ａとすると、

ｆ'(ｔ)＝６ｔ²＋６ｔ

ｆ'(ｔ)＝０のときが極値なので、
６ｔ²＋６ｔ＝０
ｔ(ｔ＋１)＝０
よって、ｔ＝０，−１

ｆ(０)＝ａ，ｆ(−１)＝−２＋３＋ａ＝ａ＋１

だから、ｆ(ｔ)は、ｔ＝−１で極大値ａ＋１，ｔ＝０で極小値ａをとります。

つまり、横軸がこれらの間にあればこの方程式は３つの解を持つことになります。
だから、

ａ＋１＞０，ａ＜０

ですね。
よって、求めるａの値の範囲は、

−１＜ａ＜０


(1)に戻る→ｔの式を表す


◆関連項目
接線の方程式の求め方
ｙ＝ｘ³の接線のうち、(１，０)を通るもの
微分積分(数学２)まとめ


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