高校数学「不定積分」基本的な不定積分の計算

高校数学「不定積分」基本的な不定積分の計算

■　問題

次の不定積分を求めよ。

(1) ∫(４ｘ−１)ｄｘ

(2) ∫(３ｘ²＋４ｘ−２)ｄｘ

(3) ∫(ｘ＋１)(ｘ−３)ｄｘ

(4) ∫(ｙ−４)²ｄｙ

(5) ∫(ｘ＋１)³ｄｘ


↓解答解説はお知らせの下↓


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■　解答解説

積分は微分の逆なので、積分するときは「次数を１上げて、新しい指数で割る」という操作をします。

公式としては、★∫ｘⁿｄｘ＝{１／(ｎ＋１)}ｘⁿ⁺¹＋Ｃ となります。

ちなみに微分ならば、「次数を１下げて、もとの指数を係数に掛ける」ですね！

そして、定数を微分するとゼロなので、積分するときは微分したときに消えた定数を復活させなければいけません。それが積分定数Ｃです。

ではそれぞれの問題を計算していきます。


(1) ∫(４ｘ−１)ｄｘ
＝(１／２)・４ｘ²−ｘ＋Ｃ
＝２ｘ²−ｘ＋Ｃ


(2) ∫(３ｘ²＋４ｘ−２)ｄｘ
＝(１／３)・３ｘ³＋(１／２)・４ｘ²−２ｘ＋Ｃ
＝ｘ³＋２ｘ²−２ｘ＋Ｃ


(3) ∫(ｘ＋１)(ｘ−３)ｄｘ
＝∫(ｘ²−２ｘ−３)ｄｘ
＝(１／３)ｘ³−(１／２)・２ｘ²−３ｘ＋Ｃ
＝(１／３)ｘ³−ｘ²−３ｘ＋Ｃ


(4) ∫(ｙ−４)²ｄｙ
＝∫(ｙ²−８ｙ＋１６)ｄｙ
＝(１／３)ｙ³−(１／２)・８ｙ²＋１６ｙ＋Ｃ
＝(１／３)ｙ³−４ｙ²＋１６ｙ＋Ｃ


(5) ∫(ｘ＋１)³ｄｘ
＝∫(ｘ³＋３ｘ²＋３ｘ＋１)ｄｘ
＝(１／４)ｘ⁴＋(１／３)・３ｘ³＋(１／２)・３ｘ²＋ｘ＋Ｃ
＝(１／４)ｘ⁴＋ｘ³＋(３／２)ｘ²＋ｘ＋Ｃ


(3)以降のように、式にカッコがあるときは、まずは展開してから積分します。
(4)のように、変数の文字がｘでなくても積分できます。
積分定数Ｃを忘れずに！


◆関連問題
ｆ(ｘ)＝ｘ²の不定積分Ｆ(ｘ)
「微分」ｘ²＋３ｘ＋２
数学２微分積分まとめ


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