【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
令和７年共通テスト試作問題数２ＢＣより
第３問
(1) 座標平面上で、次の２つの２次関数のグラフについて考える。
ｙ＝３ｘ^2＋２ｘ＋３ ……{1}
ｙ＝２ｘ^2＋２ｘ＋３ ……{2}
{1}, {2}の２次関数のグラフには次の[共通点]がある。
┌―共通点――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜ｙ軸との交点における接線の方程式はｙ＝[ア]ｘ＋[イ]である。 ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
次の{0}～{5}の２次関数のグラフのうち、ｙ軸との交点における接線の方程式が
ｙ＝[ア]ｘ＋[イ]となるものは[ウ]である。
[ウ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ｙ＝３ｘ^2－２ｘ－３ {1} ｙ＝－３ｘ^2＋３ｘ－３ ｜
｜{2} ｙ＝２ｘ^2＋２ｘ－３ {3} ｙ＝２ｘ^2－２ｘ＋３ ｜
｜{4} ｙ＝－ｘ^2＋２ｘ＋３ {5} ｙ＝－ｘ^2－２ｘ＋３ ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
ａ，ｂ，ｃを０でない実数とする。
曲線ｙ＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ上の点(０，[エ])における接線をｌとすると、その
方程式はｙ＝[オ]ｘ＋[カ]である。
接線ｌとｘ軸との交点のｘ座標は[キク]／[ケ]である。
ａ，ｂ，ｃが正の実数であるとき、曲線ｙ＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃと接線ｌおよび直線
ｘ＝[キク]／[ケ]で囲まれた図形の面積をＳとすると
Ｓ＝(ａｃ^[コ])／([サ]ｂ^[シ]) ……{3}
である。
{3}において、ａ＝１とし、Ｓの値が一定となるように正の実数ｂ，ｃの値を変化
させる。このとき、ｂとｃの関係を表すグラフの概形は[ス]である。
[ス]については、最も適当なものを次の{0}～{5}のうちから一つ選べ。
選択肢のグラフ→http://www.a-ema.com/img/shisakum2bc3.png
つづく
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
微分積分まとめ→http://a-ema.seesaa.net/article/478475977.html
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■ 解説目次
◆１ 第３問は必答で微分積分
◆２ ｙ軸との交点における接線だからｘ＝０の微分係数
(以下略)
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■ 解説
◆１ 第３問は必答で微分積分
2021年からスタートした「共通テスト」ですが、2025年は大きめの変更がいくつか
ありそうです。
数学２Ｂに関しては、第１問～第３問が必答、第４問～第７問のうち３問を選択
となるようです。
今回掲載する第３問の主な内容は、微分積分です。
問題全体の分量が増えたぶん、大問１問の難易度や分量は以前より少し軽くなって
いる印象を受けますが、テキパキやらないと時間内に終わらないのは同じです。
どんなときに何をする？という基本的な方針を素早く見抜けるよう、基本的な公式や
解き方を完璧にマスターしておくようにしましょう！
詳しい変更点などは
令和７年度 大学入学共通テストＱ＆Ａ
https://www.dnc.ac.jp/kyotsu/faq.html
こちらをご覧いただくと良いと思います。
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◆２ ｙ軸との交点における接線だからｘ＝０の微分係数
では今回の問題です。
まず問題の式を確認しましょう！
ｙ＝３ｘ^2＋２ｘ＋３ ……{1}
ｙ＝２ｘ^2＋２ｘ＋３ ……{2}
これら２つの２次関数の式が与えられています。さらに、
┌―共通点――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜ｙ軸との交点における接線の方程式はｙ＝[ア]ｘ＋[イ]である。 ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
このような共通点があるそうです。
まずはこの接線の方程式を求めます。
「ｙ軸との交点における接線」だから、その点の座標を求めましょう！
ｙ軸上はｘ＝０だから、(０，３)ですね。これはｙ切片になります。
接点の傾きは導関数で表されるので、与式を微分します。
ｙ＝３ｘ^2＋２ｘ＋３
ｙ'＝６ｘ＋２
(０，３)における接線を考えるので、ｘ＝０を代入して、
(以下略)
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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ラベル：数学
