高校数学「無理関数」曲線ｙ＝√(ｘ−１)とｙ＝ｘ＋ｋが接するとき

高校数学「無理関数」曲線ｙ＝√(ｘ−１)とｙ＝ｘ＋ｋが接するとき

◆問題

曲線ｙ＝√(ｘ−１)について次の問いに答えよ。

(1) 直線ｙ＝ｘ−３との共有点の座標を求めよ。

(2) 直線ｙ＝ｘ＋ｋと接するときのｋの値を求めよ。


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◆解答・解説

ｙ＝√(ｘ−１)は無理関数で、ｙ＝ｘ＋ｋは１次関数ですね。

接するときも共有点をもつので、まずは連立方程式の要領で計算します。

√(ｘ−１)＝ｘ＋ｋ
ｘ−１＝(ｘ＋ｋ)²
ｘ−１＝ｘ²＋２ｋｘ＋ｋ²

２次方程式になったので、●●＝０の形にしてみます。

ｘ²＋(２ｋ−１)ｘ＋ｋ²＋１＝０

接するということは、この式の解が１つと考えます。
判別式をＤ＝ｂ²−４ａｃとすると、

Ｄ＝(２ｋ−１)²−４×１×(ｋ²＋１)
　＝４ｋ²−４ｋ＋１−４ｋ²−４
　＝−４ｋ−３

解が１つなので、Ｄ＝０です。つまり、

−４ｋ−３＝０
　　　４ｋ＝−３
　　　　ｋ＝−３／４


次の問題→接点の座標


◆関連項目
無理関数のグラフの基本的な特徴
双曲線


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