2024年12月24日

本日配信のメルマガ。令和7年共通テスト試作問題数学2B第4問 完成

本日配信のメルマガでは、令和7年共通テスト試作問題数学2B第4問を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
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■ 問題

令和7年共通テスト試作問題数2BCより

第4問

 初項3,公差pの等差数列を{an}とし、初項3公比rの等比数列を{bn}とする。
ただし、p≠0かつr≠0とする。さらに、これらの数列が次を満たすとする。

  an・bn+1−2an+1・bn+3bn+1=0 (n=1,2,3,…) ……{1}

(1) pとrの値を求めよう。自然数nについて、an,an+1,bnはそれぞれ

  an=[ア]+(n−1)p ……{2}
  an+1=[ア]+np   ……{3}
  bn=[イ]r^(n-1)

と表される。r≠0により、全ての自然数nについて、bn≠0となる。

bn+1/bn=rであることから、{1}の両辺をbnで割ることにより

  [ウ]an+1=r(an+[エ]) ……{4}

が成り立つことがわかる。{4}に{2}と{3}を代入すると

  (r−[オ])pn=r(p−[カ])+[キ] ……{5}

となる。{5}がすべてのnで成り立つことおよびp≠0により、r=[オ]を得る。
さらに、このことから、p=[ク]を得る。

 以上から、すべての自然数nについて、anとbnが正であることもわかる。


(2) 数列{an}に対して、初項3の数列{cn}が次を満たすとする。

  an・cn+1−4an+1・cn+3cn+1=0 (n=1,2,3,…) ……{6}

 anが正であることから、{6}を変形して、cn+1={([ケ]an+1)/(an+[コ])}cn
を得る。さらに、p=[ク]であることから、数列{cn}は[サ]ことがわかる。

[サ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
| {0} すべての項が同じ値をとる数列である               |
| {1} 公差が0でない等差数列である                  |
| {2} 公比が1より大きい等比数列である                |
| {3} 公比が1より小さい等比数列である                |
| {4} 等差数列でも等比数列でもない                  |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘


(3) q,uは定数で、q≠0とする。数列{bn}に対して、初項3の数列{dn}が次を
満たすとする。

  dn・bn+1−qdn+1・bn+ubn+1=0 (n=1,2,3,…) ……{7}

 r=[オ]であることから、{7}を変形して、dn+1=([シ]/q)(dn+u)を得る。
したがって、数列{dn}が、公比が0より大きく1より小さい等比数列となるための
必要十分条件は、q>[ス]かつu=[セ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

  数列まとめ→http://a-ema.seesaa.net/article/479520450.html

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■ 解説目次

 ◆1 第4問は数列
 ◆2 等差数列・等比数列の公式に普通に代入

(以下略)

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■ 解説

 ◆1 第4問は数列

大多数の大学受験生が受ける「共通テスト」ですが、2025年は大きめの変更が
いくつかありそうです。

数学2Bに関しては、第1問〜第3問が必答、第4問〜第7問のうち3問を選択
となるようです。

今回掲載する第4問の主な内容は、数列です。
問題全体の分量が増えたぶん、大問1問の難易度や分量は以前より少し軽くなって
いる印象を受けますが、テキパキやらないと時間内に終わらないのは同じです。

どんなときに何をする?という基本的な方針を素早く見抜けるよう、基本的な公式や
解き方を完璧にマスターしておくようにしましょう!

詳しい変更点などは

令和7年度 大学入学共通テストQ&A
https://www.dnc.ac.jp/kyotsu/faq.html

こちらをご覧いただくと良いと思います。


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 ◆2 等差数列・等比数列の公式に普通に代入

では早速今回の問題です。

「初項3,公差pの等差数列を{an}」「初項3公比rの等比数列を{bn}」として
これらの数列を使った等式

  an・bn+1−2an+1・bn+3bn+1=0 (n=1,2,3,…) ……{1}

を満たすそうです。
だいぶややこしい式ですが、丁寧な誘導があるので、とにかく誘導に従って計算して
いきましょう!

まずは、an,an+1,bnを表します。

等差数列anの初項は3,公差はpだから、普通に一般項の公式に代入すると、

an=3+(n−1)p

ですね。
さらに、


(以下略)


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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ラベル:数学
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