【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
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■ 問題
令和7年共通テスト試作問題数2BCより
第4問
初項3,公差pの等差数列を{an}とし、初項3公比rの等比数列を{bn}とする。
ただし、p≠0かつr≠0とする。さらに、これらの数列が次を満たすとする。
an・bn+1−2an+1・bn+3bn+1=0 (n=1,2,3,…) ……{1}
(1) pとrの値を求めよう。自然数nについて、an,an+1,bnはそれぞれ
an=[ア]+(n−1)p ……{2}
an+1=[ア]+np ……{3}
bn=[イ]r^(n-1)
と表される。r≠0により、全ての自然数nについて、bn≠0となる。
bn+1/bn=rであることから、{1}の両辺をbnで割ることにより
[ウ]an+1=r(an+[エ]) ……{4}
が成り立つことがわかる。{4}に{2}と{3}を代入すると
(r−[オ])pn=r(p−[カ])+[キ] ……{5}
となる。{5}がすべてのnで成り立つことおよびp≠0により、r=[オ]を得る。
さらに、このことから、p=[ク]を得る。
以上から、すべての自然数nについて、anとbnが正であることもわかる。
(2) 数列{an}に対して、初項3の数列{cn}が次を満たすとする。
an・cn+1−4an+1・cn+3cn+1=0 (n=1,2,3,…) ……{6}
anが正であることから、{6}を変形して、cn+1={([ケ]an+1)/(an+[コ])}cn
を得る。さらに、p=[ク]であることから、数列{cn}は[サ]ことがわかる。
[サ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
| {0} すべての項が同じ値をとる数列である |
| {1} 公差が0でない等差数列である |
| {2} 公比が1より大きい等比数列である |
| {3} 公比が1より小さい等比数列である |
| {4} 等差数列でも等比数列でもない |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(3) q,uは定数で、q≠0とする。数列{bn}に対して、初項3の数列{dn}が次を
満たすとする。
dn・bn+1−qdn+1・bn+ubn+1=0 (n=1,2,3,…) ……{7}
r=[オ]であることから、{7}を変形して、dn+1=([シ]/q)(dn+u)を得る。
したがって、数列{dn}が、公比が0より大きく1より小さい等比数列となるための
必要十分条件は、q>[ス]かつu=[セ]である。
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
数列まとめ→http://a-ema.seesaa.net/article/479520450.html
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■ 解説目次
◆1 第4問は数列
◆2 等差数列・等比数列の公式に普通に代入
(以下略)
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■ 解説
◆1 第4問は数列
大多数の大学受験生が受ける「共通テスト」ですが、2025年は大きめの変更が
いくつかありそうです。
数学2Bに関しては、第1問〜第3問が必答、第4問〜第7問のうち3問を選択
となるようです。
今回掲載する第4問の主な内容は、数列です。
問題全体の分量が増えたぶん、大問1問の難易度や分量は以前より少し軽くなって
いる印象を受けますが、テキパキやらないと時間内に終わらないのは同じです。
どんなときに何をする?という基本的な方針を素早く見抜けるよう、基本的な公式や
解き方を完璧にマスターしておくようにしましょう!
詳しい変更点などは
令和7年度 大学入学共通テストQ&A
https://www.dnc.ac.jp/kyotsu/faq.html
こちらをご覧いただくと良いと思います。
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◆2 等差数列・等比数列の公式に普通に代入
では早速今回の問題です。
「初項3,公差pの等差数列を{an}」「初項3公比rの等比数列を{bn}」として
これらの数列を使った等式
an・bn+1−2an+1・bn+3bn+1=0 (n=1,2,3,…) ……{1}
を満たすそうです。
だいぶややこしい式ですが、丁寧な誘導があるので、とにかく誘導に従って計算して
いきましょう!
まずは、an,an+1,bnを表します。
等差数列anの初項は3,公差はpだから、普通に一般項の公式に代入すると、
an=3+(n−1)p
ですね。
さらに、
(以下略)
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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ラベル:数学