◆問題
点Ｑが直線ｘ－２ｙ＋２＝０上を動くとき、点Ａ(２，－３)と点Ｑを結ぶ線分ＡＱを１：２に内分する点Ｐの軌跡を求めよ。
軌跡に関する少し難しい問題です。
定期テストレベルなら、このくらいが解ければだいたいＯＫだと思います。
↓解答解説はお知らせの下に↓
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◆解答解説
軌跡の問題では、基本的には点Ｐを(ｘ，ｙ)とおきます。
そして点Ｐ以外に移動する点があれば、それも文字で置きます。
例えば、Ｑ(ｓ，ｔ)とするのが標準的だと思います。
今回の問題も、この置き方でやっていきます。
Ｑはｘ－２ｙ＋２＝０上の点なので、この直線の式に代入することができますね。
つまり、ｓ－２ｔ＋２＝０です。
点ＰはＡＱを１：２に内分する点だから、内分の公式を使って式を立てます。
ｘ＝(２×２＋１×ｓ)／(１＋２)＝(４＋ｓ)／３
ｙ＝{２×(－３)＋１×ｔ)／(１＋２)＝(－６＋ｔ)／３
求めるのはＰの軌跡、つまり、ｘとｙの関係式です。
だから、ｓ，ｔを消去するために、それぞれｓ，ｔについて解きます。
ｘ＝(４＋ｓ)／３
３ｘ＝４＋ｓ
ｓ＝３ｘ－４
ｙ＝(－６＋ｔ)／３
３ｙ＝－６＋ｔ
ｔ＝３ｙ＋６
これらをｓ－２ｔ＋２＝０に代入すれば、ｘ，ｙの式ができますね！
３ｘ－４－２(３ｙ＋６)＋２＝０
３ｘ－４－６ｙ－１２＋２＝０
３ｘ－６ｙ－１４＝０
よって、求める軌跡は、「３ｘ－６ｙ－１４＝０の直線」です。
◆関連項目
２点Ｏ(０，０)，Ａ(６，０)からの距離の比が２：１である点Ｐの軌跡
軌跡の立式の仕方
図形と方程式まとめ
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