高校数学「積分」絶対値を含む定積分の計算�A

高校数学「積分」絶対値を含む定積分の計算�A

■　問題

次の定積分を求めよ。

∫[1〜3]|ｘ²−４|ｄｘ


↓解答解説はお知らせの下に↓

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■　解答解説

絶対値を含む定積分を考えるときは、場合分けが必要になる場合があります。
絶対値なので、値がマイナスなら符号を変えるという操作が必要になります。

どこで符号が変わるかを調べるため、まずはイコールゼロで解いてみます。

ｘ²−４＝０
(ｘ＋２)(ｘ−２)＝０
ｘ＝−２，２

今回の積分の区間は１から３だから、１〜２と２〜３の２ヶ所に分けて考えます。
２より左はマイナス、２より右はプラスだから、

　∫[1〜3]|ｘ²−４|ｄｘ
＝−∫[1〜2](ｘ²−４)ｄｘ＋∫[2〜3](ｘ²−４)ｄｘ

このように分けることができます。
あとは計算ですね！

＝−[(１／３)ｘ³−４ｘ][1〜2]＋[(１／３)(ｘ³−４ｘ][2〜3]
＝−{８／３−８−(１／３−４)}＋２７／３−１２−(８／３−８)
＝−(８／３−８−１／３＋４)＋２７／３−１２−８／３＋８
＝−(７／３−４)＋１９／３−４
＝−７／３＋４＋１９／３−４
＝１２／３
＝４


◆関連項目
基本的な定積分の計算
微分積分(数学２)まとめ

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