■ 問題
放物線ｙ＝ｘ2－４ｘ＋１とｘ軸で囲まれた図形の面積Ｓを求めよ。
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■ 解答解説
ｘ軸と関数に囲まれた図形の面積を求めるには、ｘ軸との交点の間の区間で定積分ですね！
まずは交点を求めてみましょう！
ｘ軸上はｙ＝０だから、
ｘ2－４ｘ＋１＝０
因数分解できないので、解の公式を使います。
ｘ＝[－(－４)±√{(－４)2－４×１×１}]／(２×１)
＝{４±√(１６－４)}／２
＝(４±√１２)／２
＝(４±２√３)／２
＝２±√３
だから、２－√３から２＋√３の区間で定積分ですね！
・・・ですが、普通に定積分をやると計算がかなり大変になってしまいます。
２次式を積分すると３次式になり、それに２－√３を代入したり・・・となってしまいます。
もちろんこの程度ならやればできますが、もっと簡単に計算できる公式があることも知っておくと良いでしょう。
いわゆる、「１／６の公式」です。
２次関数とｘ軸または直線との間の面積を求めるために使うことができます。
２つの交点をα，βとすると、
Ｓ＝(１／６)(β－α)3
こんなシンプルな式で面積を求めることができます。
どこかにマイナスがついたりつかなかったり、公式の表し方はいくつかありますが、「大きい方から小さい方を引いて、３乗して、１／６」と覚えておくのが実用的だと思います。
今回はα＝２－√３，β＝２＋√３なので、
Ｓ＝(１／６)(２＋√３－２＋√３)3
＝(１／６)(２√３)3
＝(１／６)×２４√３
＝４√３
◆関連項目
ｙ＝ｘ2＋ｘとｙ＝２ｘ＋６に囲まれた図形の面積
微分積分(数学２)まとめ
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ラベル：数学
