高校数学「確率統計」母平均ｍを信頼度９５％で推定する

高校数学「確率統計」母平均ｍを信頼度９５％で推定する

◆問題

母集団から大きさ２５００の標本を抽出し、変量ｘの値を調べたところ、標本平均は５０．５，標本標準偏差は５．０だった。ｘの母平均ｍを信頼度９５％で推定せよ。


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◆解答解説

標本の大きさ２５００は充分に大きいとみなして、「標本標準偏差＝母標準偏差」と考えられます。
標本平均をＸ＿とすると、Ｘ＿は正規分布Ｎ(ｍ，５．０²／２５００)に近似的に従うということができます。

ということは、Ｚ＝(Ｘ＿−ｍ)／σが標準正規分布Ｎ(０，１)に従うことになり、求める信頼区間を正規分布表を用いて計算することができます。

信頼度９５％ということは、正規分布の−０．４７５から０．４７５の範囲なので、Ｐ(|Ｚ|≦１．９６)＝０．９５です。
つまり、|Ｘ＿−ｍ|＝１．９６×(σ／√ｎ)です。
さらに変形して、ｍの式にすると、

Ｘ＿−１．９６×(σ／√ｎ)≦ｍ≦Ｘ＿＋１．９６×(σ／√ｎ)

このように表すことができますね。
あとは代入して計算です。
Ｘ＿＝５０．５

σ／√ｎ＝√(５．０²／２５００)
　　　＝５／５０
　　　＝１／１０

だから、

５０．５−１．９６×１／１０＝５０．５−０．１９６＝５０．３０４
５０．５＋１．９６×１／１０＝５０．５＋０．１９６＝５０．６９６

小数第３位を四捨五入すると、信頼度９５％の信頼区間は

５０．３０≦ｍ≦５０．７０


正規分布表はこちら


◆確率統計まとめ


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