高校数学「複素数平面」{−１／√２−(１／√２)ｉ}-8

高校数学「複素数平面」{−１／√２−(１／√２)ｉ}^-8

■　問題

次の計算をせよ。

{−１／√２−(１／√２)ｉ}^-8


解答解説はこのページ下


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■　解答解説

８乗となると正直に計算してられないので、ド・モアブルの定理を活用して計算します。

(ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ)ⁿ＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ

ですね！

この公式を使うために、まずはカッコの中身を極形式で表します。

−１／√２−(１／√２)ｉ＝ｃｏｓ(−３／４)π＋ｉｓｉｎ(−３／４)π

ですね。ということは、与式は、

{ｃｏｓ(−３／４)π＋ｉｓｉｎ(−３／４)π}^-8

このように書き換えられます。
これでド・モアブルの定理が使えます。

＝ｃｏｓ{−８・(−３／４)}π＋ｉｓｉｎ{−８・(−３／４)}π
＝ｃｏｓ６π＋ｉｓｉｎ６π
＝１


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